Отбор наиболее значимых факторов

В связи с тем, что общий вид модели выбирается экспериментатором, может оказаться, что некоторые члены модели не имеют функциональной связи с величиной Y. Наиболее строгим методом отбора значимых факторов является метод поочередного исключения из полученной формулы каждого из факторов и оценки коэффициента множественной корреляции [ 5 ].

Отбор наиболее значимых факторов при использовании коэффициента множественной корреляции производится путем поочередного исключения членов из уравнения регрессии и оценки влияния такого исключения на значение коэффициента множественной корреляции. Если после исключения какого-то члена из уравнения регрессии коэффициент множественной корреляции станет больше - значит этот член в уравнения регрессии не нужен.

Пример. Пусть, например, уравнение регрессии имеет вид

Y=a₀+a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+a₄x₄+a₅x₅

а значения коэффициента R множественной корреляции при поочередном исключении x₁ - x₅ оказались такими, как показано в первой строке следующей таблицы

По всем Х	Без Х1	Без Х2	Без Х3	Без Х4	Без Х5
0,81	0,62	0,79	0,85	0,74	0,71
0,85	0,66	0,84	-	0,78	0,75

Как видно из приведенных значений R, удаление из уравнения регрессии члена a₃x₃ дало большее (R=0,85) значение коэффициента множественной корреляции, чем при ее включении (R=0,81). Это означает, что этот член вносит лишь дополнительный разброс, не уточняя функциональную зависимость, и, безусловно, должен быть исключен из уравнения регрессии.

Во второй строке таблицы приведены значения коэффициента множественной корреляции при поочередном исключении оставшихся членов. Видно, что все оставшиеся члены значимы, хотя член a₂x₂ почти не влияет на функциональное описание и в целях упрощения модели может быть исключен.

Данный метод отбора наиболее значимых факторов является строгим, но трудоемким, так как перед расчетом каждого коэффициента множественной корреляции требуется выполнить расчет коэффициентов уравнения регрессии по МНК. В приведенном примере потребовалось произвести расчет по МНК 10 раз.

Отбор наиболее значимых факторов с использованием коэффициентов значимости

Метод отбора наиболее значимых факторов с использованием коэффициента множественной корреляции является строгим, но трудоемким, так как перед расчетом каждого коэффициента множественной корреляции требуется выполнить расчет коэффициентов уравнения регрессии по МНК.

Более простым является метод расчета коэффициентов значимости. Идея метода заключается в следующем. Исходное уравнение

y = a0 + a1x1 + a2x2 + … + akxk

вначале преобразуется к виду

yi = a0 + a1x1i + a2x2i + . . . +akxki

и

так как уравнение модели применимо для любого значения y, в том числе и для среднего значения затем

и далее

Затем производится замена переменных

в результате которой все переменные выразятся в долях среднеквадрати-ческого отклонения, т.е. последнее выражение будет представлено в виде:

г де

В последнем уравнении все t будут одного порядка, а т.к. < 3σ (т.н. «правило трех сигм»), то t < 3 . Поэтому соотношение между собой b₁, b₂, …b_k указывает на относительный вес вклада в общую сумму слагаемых x_ji - x_i.

Правда, в силу того, что функции распределения вероятностей xi могут быть различны, значения β характеризуют значимость факторов с погрешностью порядка 50%. Поэтому только если, например, b₂ существенно меньше b_j, (в 5 - 10 раз), то можно на этом основании исключать член, содержащий x₂ , из уравнения модели.

Значения _xi могут быть рассчитаны до эксперимента в соответствии с планом эксперимента по значениям x_ji, значение σ_y - по результатам эксперимента. Расчет коэффициентов β может быть произведен только после определения коэффициентов b_i .