Проверка адекватности уравнения регрессии результатам опытов

В условиях отсутствия погрешностей измерения и помех адекватность означала бы точное соответствие расчетных (по уравнению регрессии) и экспериментальных данных. В условиях же наличия погрешностей измерения адекватность считается установленной, если средний разброс экспериментальных значений функции отклика относительно расчетных при

б удет равен среднему разбросу результатов повторных измерений при

г де

N – количество значений фактора (различных значений Х) при которых измеряется отклик Y.

n – количество повторных измерений значения отклика при одном и том же значении фактора.

Проверка адекватности уравнения регрессии результатам опытов производится в следующей последовательности:

1. По результатам повторных измерений в каждом опыте вычисляется:

2 . Производится проверка однородности дисперсий

где i= 1…N, i – номер опыта, N – число опытов.

При неограниченном количестве повторных измерений однородность означала бы равенство дисперсий в каждом опыте. В условиях ограниченного количества повторных измерений проверка на однородность осуществляется с помощью критерия Фишера. Критерий Фишера определяет максимально возможное отношение максимальной и минимальной дисперсии, при котором дисперсии можно считать однородными (лучше сказать: нельзя считать неоднородными). Значения коэффициента Фишера заданы таблично для различных степеней свободы числителя и знаменателя

и различных значений уровня доверительной вероятности (см. табл. 7)

Табл. 7. Коэффициенты Фишера для Ф=0.95

fчисл fзнам	1	2	3	4	5	6	12	24	
1	164	199	216	225	230	234	245	249	254
2	18,5	19,2	19,2	19,3	19,3	19,3	19,4	19,5	19,5
3	10,1	9,6	9,3	9,1	9,0	8,9	8,7	8,6	8,5
4	7,7	6,9	6,6	6,4	6,3	6,2	5,9	5,8	5,6
5	6,6	5,8	5,4	5,2	5,1	5,0	4,7	4,5	4,4
6	6,0	5,1	4,8	4,5	4,4	4,3	4,0	3,8	3,7
12	4,8	3,9	3,5	3,3	3,1	3,0	2,7	2,5	2,3
24	4,3	3,4	3,0	2,8	2,6	2,5	2,2	2,0	1,7
	3,8	3,0	2,6	2,4	2,2	2,1	1,8	1,5	1,0

Итак, если

т о дисперсии нельзя считать однородными.

Число степеней свободы f равняется разности количества повторных измерений и числа констант, определяемых по этим измерениям. В данном случае ищется одна константа

Поэтому f=n-1.

Причиной обнаруженной неоднородности дисперсий может быть наличие промахов или недостаточное количество повторных измерений.

Таким образом, при обнаружении неоднородности нужно найти и исключить промахи и/или произвести дополнительные измерения. Промахом считают результат, существенно выходящий за пределы доверительного интервала .

3.Вычисляется дисперсия воспроизводимости S²_воспр

Дисперсия воспроизводимости есть среднее из дисперсий всех опытов. Оценкой ее является

Г де n – число опытов;

4. Вычисляется дисперсия адекватности S_ад²

Дисперсия адекватности определяется как сумма квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений функции отклика, отнесенная к числу степеней свободы. Число степеней свободы в данном случае равно разности между количеством опытов N и числом m коэффициентов в уравнении регрессии (включая и а₀).

Оценкой дисперсии адекватности является

5.Проверяется однородность дисперсии адекватности и дисперсии воспроизводимости. В условиях неограниченного количества опытов N и неограниченного количества повторных измерений n

О днородность означала бы равенство дисперсий адекватности и воспроизводимости. В условиях же ограниченного количества опытов и повторных измерений однородность устанавливается по критерию Фишера. Условие однородности имеет вид:

З начения f так же как и раньше берется из таблицы при выбранном уровне доверительной вероятности и степенях свободы числителя и знаменателя.

Предостережения:

1. Чем ниже взят уровень доверительной вероятности и чем меньше количество повторных измерений, тем больше значение F_т и, следовательно, выше возможность принять ошибочное решение об адекватности модели.

2. Выполнение условия адекватности означает лишь только то, что нет оснований отвергнуть гипотезу об адекватности данной модели. Не исключено, что условию адекватности будут соответствовать не одна, а несколько моделей!

Практические рекомендации:

1. Проверять на адекватность не одну, а несколько моделей. Тогда можно будет сравнивать между собой значения дисперсий адекватности и выбрать модель с наименьшим значением дисперсии адекватности.

2. Количество повторных измерений в каждом опыте брать не менее 20 - 30.

Контрольные вопросы и задачи

1. Какие действия нужно предпринять, если в процессе обработки данных однофакторного эксперимента условие однородности дисперсий оказалось не выполненным?

2. Какие действия нужно предпринять, если в процессе обработки данных однофакторного эксперимента условие устойчивости оказалось не выполненным?

3. Какие действия нужно предпринять, если в процессе обработки данных однофакторного эксперимента оказалось, что условию адекватности соответствует несколько моделей?

4. Какие последствия могут быть в случае, если поле экспериментальных точек не отвечает условию «вытянутости вдоль аппроксимирующей кривой»?

5. Какой метод нахождения коэффициентов уравнения регрессии следует применять, если значение контрэксцесса для случайной погрешности равно а) 0,2; б) 0,65; в) 0.

6. Имеется набор экспериментальных данных в табличной форме (Табл. 8), полученных при измерениях (6 опытов, 20 повторных измерений в каждом опыте). Требуется:

   • Определить доверительный интервал погрешности в каждом опыте.

   • Определить степень близости распределения к нормальному.

   • Определить доверительный интервал математического ожидания в каждом опыте.

   • Найти промахи.

   • Проверить выполнение условия однородности дисперсий в опытах.

Табл. 8

КЭ – контрэксцесс

Средн – среднее арифметическое

Лабораторная работа. Обработка результатов однофакторного эксперимента в среде MATLAB. Подгонка кривых.

Программа работы.

1. Освоить технологию работы с программой CurveFitting пакета . MATLAB.

2. Научиться производить обоснованный выбор наилучшей аппроксимирующей зависимости из возможных.

Указания к выполнению.

1. При выполнении п.1. Программы изучить теоретические основы подгонки кривых, положенные в основу программы Curve Fitting и описание библиотеки аппроксимирующих функций Fitting Library в MATLAB Help: CurveFittingToolbox/FittingData/ParametricFitting (Library Models, Custom Equations, Evaluation of goodness of Fitting и др.).

2. При выполнении п.2 выполнить подгонку кривых, выбрать наилучшую функциональную зависимость и обосновать сделанный выбор для зашумленного массива данных: файл census.mat в папке C:\MATLAB\toolbox\mathlab\demos.

3. При работе с программой CurveFitting подгонку кривых производить в следующей последовательности:

а) Запустить MATLAB.

б) открыть окно Workspace (View/Workspace) и загрузить в это окно mat-файл данных.

в) открыть панель CurveFitting: Start/ Toolboxes/ CurveFitting

г) на панели CurveFittingTool активизировать кнопку Data. В окнах Xdata, Ydata станут доступными составляющие cdate (X) и pop (Y) из файла census.mat;

д) произвести выбор cdate и pop, затем активизировать кнопку CreateDataSet;

е) активизировать кнопку Fitting. В результате появится сдвоенное окно FitEditor и Tables of Fits .

ж) вбрать вид аппроксимирующей функции и активизировать кнопку Apply.

Результаты аппроксимации будут представлены в графической форме в окне графического вывода на панели CurveFittingTool (рис.19) и в

Рис. 19

численной форме в окне Results на панели Tables of Fits.

При выборе пунктов меню View/Residuals/Line или View/Residuals/Scatter в окне графического вывода на панели CurveFittingTool будут одновременно выведен график ошибки интерполяции. Окно графического вывода можно вывести на печать или сохранить в файле: File/Print to Figure.

Полученные в процессе аппроксимации результаты занести в таблицу:

Вид модели	Порядок модели	Качество подгонки (+ или -)	R-square	Adjusted R-square	Диапазон погрешностей

Исследовать таким образом все возможные виды моделей.

е) по полученным и отраженным в таблице данным выбрать три наилучшие варианта аппроксимирующих функций. Для этих вариантов получить значения график аппроксимирующей функции и график погрешности аппроксимации, аналитические выражения с численными значениями коэффициентов для аппроксимирующей зависимости.

ж) выбрать и обосновать наилучший вариант аппроксимирующей кривой по критерию наименьшей сложности.

Содержание отчета.

1. Постановка задачи.

2. Результаты аппроксимации экспериментальных данных из файла census.mat и показатели качества подгонки R-square и Ajusted R-square для всех основных классов аппроксимирующих функций (экспоненциальной, гауссиана, показательной, Фурье, полиномиальной, показательной, рациональной) в форме таблицы результатов, содержащей название класса аппроксимирующей функции, порядка модели, значений R-square и Ajusted R-square.

3. Для трех наиболее подходящих аппроксимирующих зависимостей - график аппроксимирующей функции и график погрешности аппроксимации, аналитические выражения для аппроксимирующей зависимости.

4. Обоснование выбора наилучшей аппроксимирующей зависимости.

5. Выводы.