Планирование и обработка результатов полного многофакторного эксперимента

Задача обработки экспериментальных данных многофакторного эксперимента состоит в нахождении математического описания многопараметрического явления, т.е. в построении его математической модели в виде:

y = F( x₁, x₂, x₃, … , x_k )

Задача эта решается в следующем порядке.

1. Определение вида частных зависимостей Z₁(x₁),Z₂(x₂), … ,Z_k(x_k), под которыми x₁, … ,x_k входят в общее выражение при фиксированных значениях остальных аргументов.

2. Определение общего вида математической модели, т.е. вида объединения частных функций между собой при образовании общей модели

Х = Ψ [z₁(x₁), z₂(x₂), … z_k(x_k)]

3. Определение числовых значений коэффициентов модели.

4. Определение значимости отдельных членов полученного выражения и исключение малозначимых членов для получения наиболее компактной математической модели.

5. Уточнение числовых значений коэффициентов модели после исключения малозначимых членов.

6. Проверка адекватности полученной модели экспериментальным данным.

Определение вида частных зависимостей

Для определения общего вида каждой частной зависимости проводят несколько опытов при фиксированном значении всех факторов, кроме одного. Значение же этого, единственного, фактора изменяют во всем диапазоне варьирования от минимального до максимального значения. Минимальное количество опытов зависит от характера предполагаемой зависимости. Если зависимость линейная - достаточно двух опытов, квадратичная - трех и т. д. При наличии случайных погрешностей измерения в каждом опыте полезно проводить повторные измерения.

Подбор вида модели при ручной обработке производится качественно, путем выбора из справочника типовых кривых функции, качественно похожей на полученную в результате аппроксимации "на глаз" экспериментальных данных.

Определение общего вида математической модели.

Определение общего вида математической модели на основе частных зависимостей может быть произведено при анализе семейств частных зависимостей. Например, для случая функции двух переменных это Z_1i = Z_1i(x₁) x_2i = Ci , C_1i = const, Z_2i = Z_2i (x₂) , x_1i = C_2i. На рис. 20 А-Г приведены примеры семейств частных зависимостей, соответствующих различным видам общей математической модели.

Рис. 20

В результате такого графоаналитического анализа может быть получен общий вид модели с неопределенными или, в лучшем случае, с приближенными значениями коэффициентов, например:

Y=b₀+b₁*x₃+b₂*sin(x)

Общий вид математической модели для семейств, приведенных на рис. 20А-Г, может иметь вид: y=b₀ + b₁*x₁+ b₂*x₂; y=b₀ + b₁*x₁+ b₂*x₂+ b₃*x₂*x₂; y=b₀ + b₁*x₁²+ b₂*x₂; y=b₀ + b₁*x₁²+ b₂*x₂*x₂.

Определение числовых значений коэффициентов модели.

Определение искомых значений коэффициентов производится обычно методом наименьших квадратов (МНК). Минимальное количество опытов, которые необходимо выполнить для определения коэффициентов в уравнении регрессии методом наименьших квадратов, равно количеству коэффициентов в уравнении. От выбора комбинаций значений факторов, при которых производятся опыты, зависит точность расчета коэффициентов модели.

Принцип целенаправленного выбора комбинаций факторов, который обеспечивает максимально высокую точность расчета значений коэффициентов по МНК при минимальном количестве опытов, называют планированием эксперимента.

Наиболее простым, наглядным и часто используемым является т.н. прямоугольный план, который для случая двух независимых переменных (факторов) и линейной зависимости

Y = b₀ + b₁*x₁ + b₂*x₂

имеет вид рис. 21 а.

x₂ x₂

+1 +1

* * * * * * *

-1 +1 x₁ * * * * * x₁

* * * * *

* * * * *

* * * * * * *

-1 -1

Рис. 21

Здесь независимые переменные центрированы и нормированы, т.е. приведены к виду

Центрированные и нормированные факторы Х1 и Х2 изменяются в пределах от -1 до +1.

В общем случае, если модель не является линейной, количество участков разбиения диапазона варьирования каждого из факторов должно соответствовать показателю степени, с которой данный фактор входит в уравнение. Так при зависимости

Y = b₀ + b₁*x₁⁴ + b₂*x₂⁴

прямоугольный план имеет вид рис 19б. Шаг разбиения желательно выбирать из условия

Δy = Δy(Δx) = const

Наиболее совершенным видом плана эксперимента, обеспечивающим наибольшее соответствие модели экспериментальным данным, является прямоугольный ротатабельный план. Для случаев, соответствующих рис.21а и 21б прямоугольный ротатабельный план имеет вид рис. 22:

Рис. 22

Для сокращения числа опытов вместо полного факторного плана применяют дробный факторный план, а для упрощения алгоритма вычисления коэффициентов уравнения регрессии – ортогональный центральный композиционный план [8,9].