5.21. Задача д6

Необхідно знати:

5.21.1. Теорему про зміну кількості руху матеріальної точки

(5.71)

Зміна кількості руху матеріальної точки за деякий час проміжок часу дорівнює геометричній сумі імпульсів усіх сил, що діють на точку, за той же проміжок часу.

5.21.2. Теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки:

(5.72)

Зміна кінетичної енергії матеріальної точки на деякому переміщенні дорівнює сумі робіт усіх сил, що діють на точку, на даному переміщенні.

5.21.3. Формули, що визначають

— імпульс постійної сили:

(5.73)

Імпульс постійної сили дорівнює добутку сили на час її дії.

— роботу постійної сили:

(5.74)

Робота постійної сили на деякому переміщенні дорівнює добутку модуля сили на пройдений шлях і на косинус кута між вектором сили та переміщенням.

— роботу сили ваги:

(5.75)

Робота сили ваги не залежить від вигляду траєкторії і дорівнює добутку сили ваги на різницю висот між початковими та кінцевим положеннями.

— роботу сили пружності

(5.76)

де: — коефіцієнт жорсткості;

— початкова й кінцева деформації.

5.21.4. Диференційні рівняння руху матеріальної точки в проекціях на натуральні осі координат (рівн. 5.65)

Необхідно вміти:

5.21.5. Проектувати векторну рівність на вісь (див. § 5.13.9).

5.21.6. Обчислити силу тертя

(5.77)

Приклад 21. Розв’язати задачу Д6 контрольної роботи за варіантом 666.

Рішення. У відповідності з даними до задачі Д6 (див. табл. Д6 а і Д6 б), маємо:

кг; м/с; ; ; м;

с; ;

Рисунок 5.55

Знайти:

1. Будуємо рисунок у відповідності з даними до задачі (рис. 5.56).

2. Розглянемо рух точки М на ділянці 0-1, де на точку діють:

— сила ваги;

— нормальна реакція стінки трубки;

— сила тертя.

Рисунок 5.56

Для знаходження швидкості точки в положенні І застосовуємо теорему про зміну кількості руху матеріальної точки (рівн. 5.71):

тобто

(а)

Спроектувавши рівн. (а) на вісь що проведена уздовж ділянки 0-1 (рис. 5.56), отримаємо:

Звідки, знаючи, що

знаходимо швидкість у положенні І:

м/с.

3. Розглянемо рух точки на ділянці І-А та І-2, де на неї діють дві сили: — сила ваги і — нормальна реакція стінки трубки (5.57). Для визначення швидкостей в положеннях А і 2 застосовуємо теорему про зміну кінетичної енергії матеріальної точки (рівн. 5.71)

(б)

На цих ділянках роботу виконує лише сила ваги

Дж,

Дж.

Рисунок 5.57

Підставляючи значення робіт у рівняння (б), знайдемо швидкість точки в положенні А:

м/с;

в положенні 2

м/с.

4. Тиск точки на стінку трубки в положенні А (рис. 5.57) знайдемо, склавши диференційне рівняння руху точки в проекції на головну нормаль:

В нашому прикладі (див. рис. 5.57):

звідки

Н.

5. Величину найбільшого стиснення пружини знайдемо, застосувавши теорему про зміну кінетичної енергії точки на ділянці 2-3, причому в положенні 3 точка зупиняється. Сили, що діють на точку на цій ділянці, зображені на рис. 5.58, де:

— сила ваги;

— нормальна реакція стінки трубки;

— сила пружності;

— сила тертя.

Рисунок 5.58

Згідно з теоремою про зміну кінетичної енергії точки, маємо

(точка зупинилася).

Сума робіт:

Підставляючи відомі величини у рівн. (в), знайдемо стиснення пружини

Звідки м.

Суму імпульсів сил, що діють на точку на ділянці 1-2 за час переміщення з положення 1 в положення 2 знайдемо за теоремою про зміну кількості руху точки:

Оскільки отримуємо

Нс.

Відповідь:

м/с; Н; м; Нс.