5.24. Задача д9

Необхідно знати:

5.24.1. Теорему про зміну моменту кількості руху (кінетичного моменту) системи відносно осі

(5.89)

Перша похідна за часом від кінетичного моменту системи відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх зовнішніх сил, що діють на систему, відносно цієї осі.

5.24.2. Формули, за якими визначаються:

кінетичний момент системи відносно осі (див. форм. 5.84)

(5.90)

Кінетичний момент системи відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі моментів кількостей руху всіх матеріальних об’єктів, що утворюють систему, відносно даної осі;

(5.91)

Цей момент визначається так само, як і момент сили відносно осі (див. § 3.4).

Рисунок 5.61

Момент кількості руху матеріальної точки відносно осі дорівнює добуткові проекції вектора кількості руху на площину, що перпендикулярна до осі, на її відстань до точки перетину осі з площиною (рис. 5.61)

кінетичний момент тіла, що обертається, відносно осі обертання

(5.92)

де: — момент інерції тіла відносно осі обертання;

— його кутова швидкість;

моменти інерції прямокутної пластини відносно осей, що проходять через центр її мас (рис. 5.62)

Рисунок 5.62

(5.93)

5.24.3. Формулу, що визначає залежність між моментами інерції відносно паралельних осей (теорема Гюйгенса)

(5.94)

де: — відстань між осями.

Необхідно вміти:

5.24.4. Визначати абсолютну швидкість точки, що здійснює складний рух (див. § 5.13.2).

5.24.5. Визначати швидкість точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі (див. § 5.10.4).

5.24.6. Визначати момент сили відносно осі (див. § 3.4).

5.24.7. Інтегрувати диференційні рівняння руху.

Приклад 24. Механічна система складається з прямокутної вертикальної плити І масою кг та вантажу Д масою кг. Плита обертається навколо вертикальної осі , що лежить у площині плити (рис. 5.63). В момент часу вантаж починає рухатися під дією внутрішніх сил по жолобу, який міститься у плиті і має вигляд кола з радіусом м.

Рисунок 5.63

Закон його руху

м.

В момент часу кутова швидкість плити с^-1. До плити прикладений момент Нм.

Вважаючи вантаж матеріальною точкою й нехтуючи всіма опорами, знайти:

1. Закон зміни кутової швидкості плити.

2. Кутову швидкість плити в момент часу .

Розв’язання.

1. Розглянемо рух механічної системи, що складається з плити та вантажу Д.

2. Зобразимо діючі на неї зовнішні сили (5.64):

— сили ваги;

— реакції підп’ятника В та підшипника ;

— обертаючий момент.

Рисунок 5.64

3. Для розв’язання задачі застосуємо теорему про зміну кінетичного моменту системи

Оскільки сили паралельні осі а реакції та її перетинають, то їхні моменти відносно осі дорівнюють нулю, тоді Нм, і ми маємо

Помноживши обидві частини на й інтегруючи, отримаємо

(а)

Визначимо кінетичний момент системи

(б)

де: — кінетичний момент плити відносно осі ;

— момент кількості руху вантажу Д відносно цієї ж осі.

Так як плита здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі, то

де: — момент інерції плити відносно осі обертання, що визначається за теоремою Гюйгенса

Значить,

Оскільки точка Д здійснює складний рух (обертається разом з плитою й переміщується уздовж неї), то її момент кількості руху відносно осі буде визначатися як алгебраїчна сума двох доданків

Однак вектор лежить в одній площині з віссю обертання отже Переносний рух є обертальним навколо осі , і (рис. 5.64). Оскільки вектор є перпендикулярним до плити, то

З рис. 5.64 видно, що

Враховуючи, що

отримуємо

(г)

Підставляючи вирази (в) та (г) в (б), отримуємо вираз, котрий визначає кінетичний момент нашої системи:

й рівняння (а) набуває вигляду

(д)

Константу інтегрування визначимо з початкових умов (при с^-1)

При цьому значенні з рівняння (д) знаходимо шукану залежність

Підставимо чисельні значення:

(е)

Рівняння (е) визначає закон зміни кутової швидкості плити. З отриманого результату можна знайти значення кутової швидкості плити в будь-який момент часу. Зокрема, при с

с^-1.