4. Основы логики

   1. Высказывания

Первые учения о формах и способах рассуждений возникли в странах Древнего Востока, Китае и Индии. В основе современной логики лежит учение, созданное в 4 веке до нашей эры древнегреческими мыслителями.

Основы формальной логики заложил Аристотель, который впервые отделил логические формы речи от ее содержания. Он исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления.

Логика изучает внутреннюю структуру процесса мышления, который реализуется в таких естественно сложившихся формах как понятие, суждение, умозаключение и доказательство.

Понятие – это форма мышления, отражающая наиболее существенные свойства предмета, отличающие его от других. В структуре каждого понятия различают содержание и объем.

Содержание понятия – совокупность существенных признаков предмета. Для того чтобы раскрыть содержание понятия, следует выделить признаки, которые позволяют отличить данный предмет от других.

Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется и может быть представлен в виде множества. Алгебра множеств – одна из основополагающих математических теорий, позволяет исследовать отношения между множествами и, соответственно, объемами понятий.

Между множествами (объемами понятий) могут быть различные виды отношений:

– равнозначность: объемы понятий полностью совпадают;

– пересечение: объемы понятий частично совпадают;

– подчинения: объем одного понятия полностью входит в объем другого и т.д.

Для наглядной геометрической иллюстрации объемов понятий и отношений между ними используются диаграммы Эйлера-Венна. Если имеются какие-либо понятия A, B, C и т.д., то объем каждого понятия (множество) можно представить в виде круга, а отношения между этими объемами (множествами) в виде пересекающихся кругов.

Совокупность всех существующих множеств образует всеобщее универсальное множество U, которое позволяет отобразить множество логически противоположное к заданному. Так, если задано множество А, то существует множество НЕ А, которое объединяет все объекты, не входящие во множество А. Множество НЕ А дополняет множество А до универсального множества U.

Высказывание (суждение) – это форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают о предметах, их свойствах и отношениях между ними.

О предметах можно судить верно или неверно, т.е. высказывание может быть истинным или ложным. Истинным будет суждение, в котором связь понятий правильно отражает свойства и отношения реальных вещей. Ложным суждение будет в том случае, когда связь понятий искажает объективные отношения, не соответствует реальной действительности.

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания: «Сумма углов треугольника равна 180 градусов» устанавливается геометрией, причем – в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.

В естественном языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Высказывание не может быть выражено повелительным или вопросительным предложением, оценка истинности или ложности которого невозможна. Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.

Высказывание называется простым, если никакая его часть сама не является высказыванием. Высказывание, состоящее из простых высказываний, называется составным (сложным).

Высказывания имеют определенную логическую форму. Понятие о предмете мысли называется субъектом и обозначается буквой S, а понятие о свойствах и отношениях предмета мысли называется предикатом и обозначается буквой P. Оба эти понятия – субъект и предикат называются терминами суждения. Отношения между субъектом и предикатом выражается связкой «есть», «не есть», «является», «состоит» и т.д.

Таким образом, каждое высказывание состоит из трех элементов: субъекта, предиката и связки (двух терминов и связки). Состав суждения можно выразить общей формулой «S есть P» или «S не есть P».

П

(16)

редикат. В современной логике предикат рассматривается как функциональная зависимость. В общем случае предикат от n переменных (от n неопределенных понятий) выражается формулой (16):

Р(х₁, х₂,..., х_n),

где х₁, х₂,..., х_n – неопределенные понятия, n > 0.

При n = 1, когда один из терминов является неопределенным понятием, мы имеем предикат первого порядка, например, «X – человек».

При n = 2, когда два термина не определены, мы имеем предикат второго порядка, например, «X любит Y».

При n = 3, когда неопределенны три термина, мы имеем предикат третьего порядка, например, «Z – сын X и Y».

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, по определенным правилам логического вывода получается новое знание о предметах реального мира (вывод).

Умозаключения бывают дедуктивные, индуктивные и по аналогии.

В дедуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от общего к частному. Например, из двух суждений: «Все металлы электропроводны» и «Ртуть является металлом» путем умозаключения можно сделать вывод, что: «Ртуть электропроводна».

В индуктивных умозаключениях рассуждения ведутся от частного к общему. Например: мы знаем, что отдельные металлы (железо, медь, цинк, алюминий и т.д.) обладают свойством электропроводности. Следовательно, можно сделать вывод, что все металлы электропроводны.

Умозаключение по аналогии представляет собой движение мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов или процессов к общности других свойств и отношений. Например, химический состав Солнца и Земли сходен по многим показателям, поэтому, когда на Солнце обнаружили неизвестный еще на Земле химический элемент гелий, то по аналогии заключили: такой элемент есть и на Земле.

Доказательство – мыслительный процесс, направленный на подтверждение или опровержение какого-либо положения посредством других несомненных, ранее обоснованных доводов. Доказательство по своей логической форме не отличается от умозаключения. Однако если в умозаключении заранее исходят из истинности посылок и следят только за правильностью логического вывода, в доказательстве подвергается логической проверке истинность самих посылок.