4.6 Решение логических задач средствами алгебры логики

Существует несколько способов решения логических задач. Наиболее распространенные:

– с помощью рассуждений (подходит для простых задач),

– табличный,

– с помощью логических выражений.

4.6.1 Решение логических задач методом рассуждений

Пример 4.6.1.1 Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Есть три утверждения:

1. Вадим изучает китайский;

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно.

Следовательно, верным можно считать третье утверждение, а первое и второе – ложными. Значит, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил – японский, Вадим – арабский.

Пример 4.6.1.2 В поездке пятеро друзей – Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: «Моя фамилия – Мишин, а фамилия Бориса – Хохлов».

Антон сказал: «Мишин – это моя фамилия, а фамилия Вадима – Белкин».

Борис сказал: «Фамилия Вадима – Тихонов, а моя фамилия – Мишин».

Вадим сказал: «Моя фамилия – Белкин, а фамилия Гриши – Чехов».

Гриша сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона – Тихонов».

Какую фамилию носит каждый из друзей?

Решение. Обозначим высказывания типа «юноша по имени А носит фамилию Б» как А_Б, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

1. Д_М и Б_Х;

2. А_М и В_Б;

3. В_Т и Б_М;

4. В_Б и Г_Ч;

5. Г_Ч и А_Т.

Допустим, что истинно Д_М. Но, тогда у Антона и Бориса должны быть другие фамилии, значит А_М и Б_М ложны.

Если А_М и БМ ложны, то должны быть истинны В_Б и В_Т, но В_Б и В_Т не могут быть истинными одновременно.

Рассмотрим ситуация, когда истинно Б_Х. Отсюда:

Б_М ложно  В_Т истинно  А_Т ложно  Г_Ч истинно  В_Б ложно  А_М истинно.

Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин,

Дима — Белкин.

Пример 4.6.1.3 Министры иностранных дел России, США и Китая обсудили за закрытыми дверями проекты соглашения о полном разоружении, представленные каждой из стран.

Отвечая затем на вопрос журналистов: «Чей именно проект был принят?», министры дали такие ответы:

Россия – «Проект не наш, проект не США»;

США – «Проект не России, проект Китая»;

Китай – «Проект не наш, проект России».

Один из них (самый откровенный) оба раза говорил правду; второй (самый скрытный) оба раза говорил неправду, третий (осторожный) один раз сказал правду, а другой раз – неправду.

Определите, представителями каких стран являются откровенный, скрытный и осторожный министры.

Решение. Пронумеруем высказывания дипломатов:

Россия – «Проект не наш» (1), «Проект не США» (2);

США – «Проект не России» (3), «Проект Китая» (4);

Китай – «Проект не наш» (5), «Проект России» (6).

Узнаем, кто из министров самый откровенный.

Если это российский министр, то из справедливости (1) и (2) следует, что победил китайский проект. Но тогда оба утверждения министра США тоже справедливы, чего не может быть по условию.

Если самый откровенный – министр США, то тогда вновь получаем, что победил китайский проект. Значит, оба утверждения российского министра тоже верны, чего не может быть по условию.

Получается, что наиболее откровенным был китайский министр. Действительно, из того, что (5) и (6) справедливы, следует, что победил российский проект. А тогда получается, что из двух утверждений российского министра первое ложно, а второе верно.

Оба же утверждения министра США неверны.

Ответ: Откровенным был китайский министр, осторожным – российский, скрытным – министр США.