4.2.6 Логическая операция эквиваленция (равнозначность, равносильность, двойная импликация)

Логическая операция эквиваленция:

• в естественном языке соответствует оборотам речи «тогда и только тогда», «в том и только в том случае»;

  • в алгебре высказываний обозначается , ,  ;

Эквиваленция (эквивалентность) – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.

Эквиваленцией двух простых высказываний «Число является четным», «Число делится без остатка на 2» будет составное высказывание «Число является четным тогда и только тогда, когда число делится без остатка на 2».

Э

(20)

(21)

квиваленцию можно выразить через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию (20), (21):

Таблица истинности эквиваленции приведена в таблице 11, диаграмма Эйлера-Венна – на рисунке 10.

Таблица 11 – Таблица истинности эквиваленции

A	B	A  B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

A

Рисунок 10 – Диаграмма Эйлера-Венна

для эквиваленции

B

Порядок выполнения логических операций:

– действия в скобках,

– инверсия,

– конъюнкция,

– дизъюнкция,

– импликация, эквиваленция.

ЗАДАЧИ

1. Установите, какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие – нет (объясните почему):

а) «Солнце есть спутник Земли»;

б) «2+3?4»;

в) «сегодня отличная погода»;

г) «в романе Л.Н. Толстого «Война и мир» 3 432 536 слов»;

д) «Санкт-Петербург расположен на Неве»;

е) «музыка Баха слишком сложна»;

ж) «первая космическая скорость равна 7.8 км/сек»;

з) «железо — металл»;

и) «если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным»;

к) «если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный».

2. Укажите, какие из высказываний предыдущего задания истинны, какие – ложны, а какие относятся к числу тех, истинность которых трудно или невозможно установить.

3. Приведите примеры истинных и ложных высказываний:

а) из математики;

б) из физики;

в) из биологии;

г) из информатики;

д) из геометрии;

е) из жизни.

4. Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм:

а) «Эльбрус – высочайшая горная вершина Европы»;

б) «2≥5»;

в) «10<7»;

г) «все натуральные числа целые»;

д) «через любые три точки на плоскости можно провести окружность»;

е) «теннисист Сафин не проиграл финальную игру»;

ж) «мишень поражена первым выстрелом»;

з) «это утро ясное и теплое»;

и) «число n делится на 2 или на 3»;

к) «этот треугольник равнобедренный и прямоугольный»;

л) «на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой».

5. Определите, какие из высказываний (высказывательных форм) в следующих парах являются отрицаниями друг друга, а какие нет:

а) «5<10», «5>10»;

б) «10>9», «10≤9»;

в) «мишень поражена первым выстрелом», «мишень поражена вторым выстрелом»;

г) «машина останавливалась у каждого из двух светофоров», «машина не останавливалась у каждого из двух светофоров»,

д) «человечеству известны все планеты Солнечной системы», «в Солнечной системе есть планеты, неизвестные человечеству»;

е) «существуют белые слоны», «все слоны серые»;

ж) «кит – млекопитающее», «кит – рыба»;

з) «неверно, что точка А не лежит на прямой а», «точка А лежит на прямой а»

и) «прямая а параллельна прямой b», «прямая a перпендикулярна прямой b»;

к) «этот треугольник равнобедренный и прямоугольный», «этот треугольник не равнобедренный или он не прямоугольный».

6. Определите значения истинности высказываний:

а) «наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт»;

б) «наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт»;

в) «если целое число делится на 6, то оно делится на 3»;

г) «подобие треугольников является необходимым условием их равенства»;

д) «подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства»;

е) «треугольники подобны только в случае их равенства»;

ж) «треугольники равны только в случае их подобия»;

з) «равенство треугольников является достаточным условием их подобия»;

и) «для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были неподобны»;

к) «для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны».

7. Подставьте в приведённые ниже высказывательные формы вместо логических переменных a, b, c, d такие высказывания, чтобы полученные таким образом составные высказывания имели смысл в повседневной жизни:

а) если (а или (b и с)), то d;

б) если (не а и не b), то (с или d);

в) (а или b) тогда и только тогда, когда (с и не d).

8. Формализуйте следующий вывод: «Если a и b истинны, то c – истинно. Но c – ложно: значит, a или b ложны».

9. Формализуйте предостережение, которое одна жительница древних Афин сделала своему сыну, собиравшемуся заняться политической деятельностью:

«Если ты будешь говорить правду, то тебя возненавидят люди.

Если ты будешь лгать, то тебя возненавидят боги.

Но ты должен говорить правду или лгать.

Значит, тебя возненавидят люди или возненавидят боги».

Формализуйте также ответ сына:

«Если я буду говорить правду, то боги будут любить меня.

Если я буду лгать, то люди будут любить меня.

Но я должен говорить правду или лгать.

Значит, меня будут любить боги или меня будут любить люди».

10. Пусть a = «это утро ясное», а b = «это утро теплое». Выразите следующие формулы на обычном языке:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

7) a 8) 9) 10) 11) a 12)

11. Из двух данных высказываний a и b постройте составное высказывание, которое было бы:

а) истинно тогда и только тогда, когда оба данных выказывания ложны;

б) ложно тогда и только тогда, когда оба данных высказывания истинны.

12. Из трех данных высказываний a, b, c постройте составное высказывание, которое истинно, когда истинно какое-либо одно из данных высказываний, и только в том случае.