Теоретична частина

Техніка та технологія експериментального дослідження двигунів внутрішнього згоряння безперервно вдосконалюється протягом більш ніж 150-річного періоду їх розвитку. Експериментальні дослідження можуть переслідувати різноманітні задачі: доведення дослідних зразків двигунів, дослідження робочого процесу двигуна, вивчення впливу окремих параметрів та конструкції окремих вузлів двигуна на робочий процес та експлуатаційні властивості (ресурс, витрата пального, рівень викидів токсичних речовин з відхідними газами, тощо).

До 60-70 років XX століття основним різновидом експерименту був фізичний експеримент. Фізичний експеримент полягає в дослідженні реальних фізичних процесів, що мають місце в реальному двигуні, виконаному «в металі», або в спеціально виготовленій дослідній установці для вивчення окремих процесів (наприклад, одноциліндровий «відсік» для дослідження робочого циклу двигуна, «бомба» для вивчення особливостей впорскування та вигоряння палива), або в фізичній моделі двигуна чи окремого вузла двигуна, виконаної з залученням теорії подібності. Фізичний експеримент може бути охарактеризований високою достовірністю отриманих експериментальних даних, адже враховуються всі реальні газодинамічні, гідравлічні та трібологічні особливості досліджуваних процесів. Проте проведення фізичного експерименту значно ускладнюється суттєвими труднощами при отримані експериментальних даних, що потребує використання складної та високовартової вимірювальної апаратури. Так, незважаючи на суттєвий прогрес засобів експериментальних вимірювань, деякі параметри окремих фізичних процесів, наприклад просторове розподілення температур та концентрації компонентів робочого тіла в процесі робочого циклу двигуна, не можуть бути отримані шляхом прямих вимірювань. Суттєвими недоліками фізичного експерименту є його висока вартість та істотні затрати часу на здійснення експерименту, адже потребується виготовлення об’єкту експериментального дослідження.

З розвитком електронно-обчислювальних машин починаючи з 60-х років XX століття при створенні та доведенні нових зразків двигунів все більш широко застосовується чисельний експеримент. При чисельному експерименті реальний двигун або фізична модель замінюється математичною моделлю, що описує, як правило за допомогою системи нелінійних або лінійних диференційних рівнянь, досліджувані процеси. Так, чисельні експерименти інтенсивно використовуються при конструюванні окремих вузлів двигуна з врахуванням їх термічного та механічного навантаження; при дослідженні робочих процесів в циліндрі двигуна за допомогою термодинамічних та газодинамічних математичних моделей; при дослідженні нестаціонарного хвильового руху газу в газоповітряному тракті двигуна; при дослідженні гідравлічних процесів в паливній апаратурі; при дослідженні процесів теплообміну, тощо. Для здійснення названих досліджень широко застосовуються такі засоби САПР ДВЗ, як Solid Works, Catea, Ricardo WAVE, Ricardo VECTIS, AVL BOOST, AVL FIRE, GT-Power, Дизель-РК, тощо. До беззаперечних переваг чисельного експерименту при порівнянні з фізичним експериментом слід віднести його відносно низьку вартість, істотно вищу швидкість здійснення, можливість дослідження швидкоплинних процесів, та процесів, параметри яких складно виміряти при фізичному експерименті. Як наслідок переваг чисельного експериментування, з’являється можливість суттєвого збільшення кількості досліджуваних варіантів конструкції окремих вузлів двигуна, збільшення кількості варіантів поєднання окремих фізичних та геометричних факторів, які визначають протікання робочого процесу двигуна. До недоліків чисельного експерименту слід, безумовно, віднести необхідність ретельного налаштування, калібрування та верифікації математичної моделі, адже рівняння, що складають її основу, дозволяють лише приблизно описати реальні фізичні процеси, що досліджуються.

Практика сучасного проектування ДВЗ полягає в гармонійному поєднанні фізичних та чисельних експериментальних методів з безперервним зростанням частки чисельного експерименту.

Незважаючи на те, який різновид експерименту використовується – фізичний або чисельний, його проведенню обов’язково передує процедура планування експерименту. Планування експерименту – процедура вибору кількості та умов проведення дослідів, необхідних та достатніх для вирішення поставленої задачі з потрібною точністю. Планування експерименту характеризується:

• прагненням до мінімізації кількості дослідів;

• одночасним варіюванням всіма змінними, що визначають процес експерименту, за спеціальними алгоритмами;

• використанням математичного апарату для формалізації дій експериментатора;

• обранням чіткої стратегії, що дозволяє приймати обґрунтовані рішення після проведення кожної серії експериментів.

В загальному випадку експериментальні дослідження можуть виконуватися для вирішення задачі пошуку оптимальних умов (оптимізаційної задачі), або для встановлення впливу певних параметрів на характеристики об’єкту, що досліджується (інтерполяційні задачі). Експеримент, що проводиться з метою вирішення задачі оптимізації називають також екстремальним експериментом, адже вирішення подібних задач з математичної точки зору можна формалізувати як пошук екстремуму певної функції.

Зазначимо, що подібний поділ є досить умовним, адже практика експериментальних досліджень ДВЗ здебільшого полягає в поєднанні інтерполяційних та оптимізаційних задач. В якості прикладу розглянемо план експериментального дослідження рівня токсичності відхідних газів ДВЗ, приклади якого наведені на рис. 5.1.

6 5 4 3 2 12 11 10 9 8 1, 7, 13 25% 8% 8% 8% 8% 10% 2% 2% 2% 2% 100 80 60 40 20 100 80 60 40 pe, % n, % а)	Цикл 1 Цикл 2 120 80 40 195 195 195 195 400 τ, с v, км/год б)
	v, км/год v, км/год 50 100 100 200 300 400 500 600 80 80 60 60 40 40 20 20 τ, с τ, с в)

Рис. 5.1. Приклади планів експериментального дослідження токсичності відпрацьованих газів ДВЗ за циклами (p_e – середній ефективний тиск, n - частота обертання колінчастого валу, v – швидкість руху автомобіля, τ – час руху):

а – 13-ти режимний Європейський цикл для дизельних двигунів вантажних автомобілів;

б – стандартний Європейський їздовий цикл ECE R15/05;

в – стандартний їздовий японський цикл (складається з двох частин для «холодного» та «прогрітого» двигуна).

План експерименту, представлений на рис. 5.1,a представляє сукупність усталених режимів роботи двигуна з визначеним часом роботи двигуна на кожному з режимів (у відсотках від загального часу експерименту). Перед початком експерименту двигун прогрівають до робочих температур масла та охолоджуючої рідини. Після виведення двигуна на кожний з режимів відкривають забірні клапани газоаналізатору на визначений період часу, після чого клапани закривають і двигун виводиться на наступний режим. За результатами обробки експериментальних даних отримують значення викидів основних складових токсичних речовин: оксидів азоту NO_x, твердих часток, угарного газу CO, та вуглеводнів C_nH_m. На основі подібних випробувань можливо також розраховувати середньоексплуатаційну витрату пального, або комплексні паливо-екологічні критерії, які будуть розглянуті нижче.

Їздові цикли, показані на рис. 5.1б,в призначені для випробування двигуна у складі автомобіля на спеціальному стенді, обладнаному біговими барабанами, тому ці цикли більш доречно називати планами експериментального визначення токсичності автомобіля. На відміну від розглянутого вище 13-ти режимного циклу, при випробуванні автомобіля двигун працює як на усталених, так і на перехідних режимах роботи.

Очевидно, що при випробуванні двигуна за стандартним циклом вирішується інтерполяційна задача отримання значення рівня шкідливих викидів в атмосферу. Проте, при проектуванні і доведенні двигуна перед інженерами неминуче постає оптимізаційна задача: таким чином обрати значення основних регульованих та конструктивних параметрів двигуна (кут випередження запалення або впорскування пального, тиск впорскування пального в залежності від режиму роботи двигуна, фази газорозподілу, форма камери згоряння, розташування та параметри нейтралізаторів токсичних компонентів, тощо), за яких двигун при випробуванні за стандартним циклом буде відповідати нормам, щодо токсичності відпрацьованих газів. Зрозуміло, що в даному випадку постає необхідність багаторазового випробування двигуна для різного значення параметрів, що змінюються. Також зрозуміла необхідність системного підходу до такого експерименту, адже в інакшому випадку кількість дослідів та їх вартість можуть перевищити допустимі границі.

Формалізуючи задачу планування експерименту, об’єкт дослідження представляють у вигляді «чорної скрині» згідно до рис. 5.2. Для здійснення експериментального дослідження необхідно мати можливість впливати на поведінку «чорної скрині». Всі можливі способи такого впливу називають факторами, на рис. 5.2 фактори схематично показані стрілками, що входять до скрині, та позначені літерою x. Фактор – це вимірюваний змінний параметр, який в визначений момент часу приймає певне значення. Фактори відповідають способам впливу на об’єкт дослідження. Кожний фактор має зону визначення, тобто сукупність значень, які може приймати фактор. Зона визначення фактору може бути неперервною та дискретною, проте в задачах планування експерименту зона визначення фактору завжди розглядається дискретною (тобто кожний фактор може приймати певну кількість значень, або рівнів). Фактори поділяють на кількісні та якісні. До кількісних факторів можна віднести різні хімічні сполуки, різні технологічні способи виготовлення, тощо. Кількісні фактори можуть бути представлені еквівалентним числом – тривалість впорскування пального, визначена в градусах повороту колінчастого валу, степінь стиснення, визначена як відношення повного об’єму циліндру до об’єму камери стиснення, та ін.

Стрілки, що виходять зі скрині, символізують чисельні характеристики цілей дослідження, які умовно позначаються літерою y. Чисельні характеристики цілей дослідження також називають параметрами оптимізації або цільовими функціями.

Прикладами цільових функцій експериментальних дослідженнях ДВЗ є питома ефективна витрата пального, середньоексплуатаційна питома ефективна витрата пального, показники токсичності відпрацьованих газів, комплексний паливо-екологічний критерій, витрати потужності на тертя, температура відхідних газів на вході в турбіну, тощо. Приклади деяких факторів: степінь стиснення, фази газорозподілу, тиск та тривалість впорскування пального, тиск наддувного повітря, фізико-хімічні властивості палива та інші параметри, які зумовлюють особливості протікання робочого циклу двигуна внутрішнього згоряння.

Рис. 5.2. Представлення об’єкта дослідження у вигляді «чорної скрині».

Якщо під час експериментального дослідження обирається одна цільова функція, то всі інші параметри оптимізації виступають в ролі обмежень. Цільова функція є ознакою об’єкту дослідження, має кількісне вираження та може бути визначена за будь-якого поєднання факторів. Множину значень, які маже приймати цільова функція, називають зоною визначення цільової функції.

Під математичною моделлю об’єкта дослідження розуміється рівняння, яке пов’язує цільову функцію та фактори, яке в загальному вигляді може бути записане так:

y = φ (x₁, x₂, …, x_k ).

Подібне рівняння в теорії планування експерименту має назву функція відгуку.

Кожний фактор може приймати певний набір значень, які мають назву рівня фактору. Фіксований набір рівнів факторів визначає один з можливих станів чорної скрині, а отже й умови проведення одного з можливих дослідів. Відповідно, якщо перебрати всі можливі поєднання факторів, то буде отримана повна множина можливих станів об’єкту дослідження. Якщо всі фактори мають однакову кількість рівнів p, то загальна кількість можливих станів об’єкту дослідження N визначається так:

N = p^k,

де k – кількість факторів.

Так система з 8 факторів, кожний з яких має 3 рівня має N = 3⁸ = 6561 можливих станів. Відповідно, послідовний перебір всіх можливих поєднань факторів вимагає суттєвих витрат часу для проведення всіх дослідів.

При плануванні експерименту до факторів та до об’єкту дослідження висувають вимогу відтворюваності результатів досліду та вимогу керованості. Відтворюваність результатів досліду полягає в тому, що значення цільової функції, отримане в результаті досліду, при певному фіксованому рівні факторів за умови здійснення досліду через різні нерівномірні проміжки часу відповідає інтервалу задовільної похибки до результатів експерименту.

Керованість об’єкту дослідження полягає в можливості обирання в кожному досліді тих рівнів факторів, які становлять найбільший інтерес.

Отже, планування екстремального експерименту полягає в обиранні кількості і умов проведення дослідів, мінімально необхідних для визначення оптимального значення цільової функції.

Планування інтерполяційного експерименту полягає в визначенні кількості і умов проведення дослідів, мінімально необхідних для отримання інформації щодо об’єкту дослідження. Інтерполяційний експеримент зазвичай передує екстремальному експерименту.

При плануванні експерименту до сукупності факторів, рівні яких варіюються під час експерименту, висувається вимога сумісності. Сумісність факторів визначається як можливість та безпечність проведення досліду при будь-якому поєднанні факторів. Наприклад, якщо експериментально вирішується задача визначення оптимальних фаз газорозподілу, слід враховувати можливість зіткнення клапанів з поршнем двигуна за умови великих значень кута випередження відкриття впускного клапана, або кута запізнення закриття випускного клапана, недопустиме збільшення температури випускного клапану та відхідних газів за великого значення кута випередження відкриття випускного клапану, тощо. Якщо в якості факторів при оптимізації робочого процесу дизельного двигуна обрані, наприклад, тиск впорскування пального, степінь стиснення та тиск наддувного повітря, то слід врахувати можливість перевищення гранично допустимого тиску робочого тіла в циліндрі або швидкості наростання тиску в циліндрі за максимального значення перелічених факторів.

Побудові плану експерименту передує з’ясування зон визначення факторів, значень основних рівнів факторів, та інтервалів варіювання факторів. Для отримання зони визначення факторів (тобто максимального та мінімального значення, який приймає фактор) необхідно проаналізувати існуючу інформацію про об’єкт дослідження та принципові обмеження значень факторів. Наприклад, значення максимальної степені стиснення може обмежуватись умовами зіткнення поршня та клапанів, або недопустимим підвищенням тиску наприкінці процесу стиснення, що може викликати детонаційне згоряння в двигунах з іскровим запаленням та перевищення гранично допустимого тиску робочого тіла в циліндрі дизельного двигуна.

Основним, або нульовим, рівнем фактора називають таке значення фактору, яке приймається за вихідне під час складання плану експерименту.

Інтервалом варіювання фактору називають певне число, додавання якого до основного рівня фактора дозволяє отримати значення наступного рівня фактора, а віднімання інтервалу варіювання від основного рівня фактора – значення попереднього рівня фактору. Інтервал варіювання фактору не може бути меншим за похибку фіксування рівня фактору, та не може бути більшим значення, за якого верхній або нижній рівень фактору виходять за межі зони визначення фактору.

Зона визначення фактору обмежена його верхнім рівнем (тобто максимальним значенням фактору) та нижній рівнем (мінімальним значенням фактору).

Якщо експеримент призначений для вирішення задач оптимізації, то значення зони визначення фактору приймається по можливості мінімальним і достатнім для визначення напрямку руху до оптимуму, а якщо вирішується задача інтерполяції, то зони визначення факторів обираються так, що вони охоплюють всю досліджувану зону їх зміни.

Повний факторний експеримент – експеримент під час проведення якого реалізуються всі можливі варіанти поєднання рівнів факторів.

Якщо під час проведення експерименту прийняти, що всі фактори можуть приймати значення, що відповідають верхньому та нижньому рівням фактора, то такий експеримент називають повним факторним експериментом типу 2^k (k – кількість факторів). Якщо ж фактори можуть приймати значення, що відповідають нижньому та верхньому рівням факторів, а також основному рівню факторів, то такий експеримент називають повним факторним експериментом типу 3^k.

Для спрощення та уніфікації позначень основний рівень фактору кодується x = 0, верхній рівень фактору кодується як x = + 1, а нижній рівень – x = – 1. Для визначення поєднання факторів в кожному досліді повного факторного експерименту складається матриця експерименту, приклади якої наведені в таблиці 5.1 та таблиці 5.2. Слід зазначити, що запис плану експерименту в кодованому вигляді дозволяє спростити дослідження планів, зокрема визначити особливості взаємодії факторів. Так, в таблиці 5.1 показаний запис плану-матриці повного факторного експерименту типу 2³ в абсолютному та кодованому вигляді. В якості факторів виступають степінь стиснення ε (основний рівень ε_о = 15, інтервал варіювання Δε = 1), тиск наддувного повітря в ресивері двигуна p_s (основний рівень p_s.о = 210 кПа, інтервал варіювання Δ p_s = 15 кПа), кут випередження впорскування пального φ_в.вп (основний рівень φ_в.вп.о = 12,5 град. до ВМТ, інтервал варіювання Δ φ_в.вп = 2,5 град. до ВМТ).

Таблиця 5.1.

План-матриця повного факторного експерименту типу 2³ (три фактори, кожний з яких має два рівні ).

Запис плану матриці в абсолютному вигляді

Номер досліду	Фактори			Питома ефективна витрата пального, ge, г/(кВт∙год)
	Степінь стиснення, ε	Тиск наддувного повітря, ps, кПа	Кут випередження впорскування пального, φв.вп, град до ВМТ
1	16	225	15
2	14	225	15
3	16	195	15
4	14	195	15
5	16	225	10
6	14	225	10
7	16	195	10
8	14	195	10

Запис плану-матриці в кодованому вигляді

Номер досліду	Фактори			Взаємодія факторів				Значення цільової функції, y
	x1	x2	x3	x1 x2	x1 x3	x2 x3	x1 x2 x3
1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1	+ 1
2	– 1	+ 1	+ 1	– 1	– 1	+ 1	– 1
3	+ 1	– 1	+ 1	– 1	+ 1	– 1	– 1
4	– 1	– 1	+ 1	+ 1	– 1	– 1	+ 1
5	+ 1	+ 1	– 1	+ 1	– 1	– 1	– 1
6	– 1	+ 1	– 1	– 1	+ 1	– 1	+ 1
7	+ 1	– 1	– 1	– 1	– 1	+ 1	+ 1
8	– 1	– 1	– 1	+ 1	+ 1	+ 1	– 1

В якості цільової функції плану експерименту, наведеного в таблиці 5.1, виступає питома ефективна витрата пального g_e.

Таблиця 5.2.

План-матриця повного факторного експерименту типу 3² (два фактори, кожний з яких має три рівні ).

Номер досліду	Фактори		Значення цільової функції, y
	x1	x2
1	+ 1	+ 1
2	+ 1	0
3	0	+ 1
4	+ 1	– 1
5	– 1	+ 1
6	0	– 1
7	– 1	0
8	0	0
9	– 1	– 1

Зазвичай кількість дослідів в повному факторному експерименті суттєво перевищує кількість коефіцієнтів рівняння функції відгуку, які визначаються за допомогою експериментального дослідження. Для зменшення кількості дослідів використовуються плани дробових факторних експериментів.

Дробовий факторний експеримент (або дробова репліка від повного факторного експерименту) - експеримент, що складається з певної кількості дослідів повного факторного експерименту. Кількість дослідів в повному факторному експерименті є кратної щодо кількості дослідів дробового факторного експерименту. Зазначимо, що кількість дослідів в дробовому факторному експерименті не може бути меншою за кількість невідомих коефіцієнтів рівняння регресії.

Як правило в якості дробової репліки використовується повний факторний експеримент для меншої кількості факторів. Так, для складання плану-матриці дробового факторного експерименту від повного факторного експерименту типу 2³ (див. таблицю 5.1) можливо скоротити кількість дослідів з восьми до чотирьох, якщо використати план-матрицю повного факторного експерименту типу 2², в якому в якості плану для фактора х₃ прийняти стовпчик x₁x₂. Отриманий таким чином план експерименту має назву полурепліки повного факторного експерименту типу 2³ та позначається 2^3-1 наведений в таблиці 5.3.

Таблиця 5.3.

План-матриця дробового факторного експерименту типу 2^3-1 (полурепліка від повного факторного експерименту типу 2³ ).

Номер досліду	Фактори			Значення цільової функції, y
	x1	x2	x3
1	+ 1	+ 1	+ 1
2	+ 1	– 1	– 1
3	– 1	+ 1	– 1
4	– 1	– 1	+ 1

Аналогічним чином отримуються план-матриці для полуреплік, чвертьреплік, 1/8-реплік та ін. для будь-якого повного факторного експерименту типу 2^k.

Для скорочення кількості дослідів в повному факторному експерименті типу 3^k використовуються композиційні плани Бокса-Уилсона, докладне вивчення яких виходить за межі даної лабораторної роботи.

Насамкінець зазначимо, що під час реалізації плану експерименту обов’язково слід враховувати реальні умови його проведення. Так, при виконанні фізичних експериментів істотний вплив на параметри досліджуваних процесів мають параметри оточуючого середовища – температура, тиск та вологість повітря, наявність вітру, тощо. Необхідно зменшити вплив систематичних похибок, які вносяться в результати експерименту внаслідок впливу зміни факторів, можливості впливу на котрі у експериментатора обмежені. Один з можливих шляхів – випадкова послідовність дослідів, передбачених план-матрицею експерименту. Досліди необхідно «рандомізувати» в часі, відповідна процедура має назву процедури рандомізації.

Послідовність виконання роботи

В даній роботі пропонується розробити програму генерації плану повного факторного експерименту в середовищах Mathcad та Microsoft Excel + Visual Basic for Applications.

Програма генерації плану повного факторного експерименту може бути виконана різної складності у відповідності до таблиці 5.4. В залежності від складності програми студентом отримується належна кількість балів за виконання роботи.

Таблиця 5.4

Варіанти виконання програми

генерації плану повного факторного експерименту.

№	Вимоги до програми	Складність, відсоток	Кількість балів
1	Генерація плану повного факторного експерименту типу 25 , основний рівень та інтервали варіювання факторів задаються користувачем.	50 %	13
2	Генерація плану повного факторного експерименту типу 34 , основний рівень та інтервали варіювання факторів задаються користувачем.	60 %	15
3	Генерація плану повного факторного експерименту типу 2k , де k – кількість факторів, основний рівень та інтервали варіювання котрих задаються користувачем.	70 %	18
4	Генерація плану повного факторного експерименту типу 3k , де k – кількість факторів, основний рівень та інтервали варіювання котрих задаються користувачем.	80 %	20
5	Генерація плану повного факторного експерименту типу pk , де p – кількість рівнів факторів, яку задає користувач, k – кількість факторів, основний рівень та інтервали варіювання котрих задаються користувачем.	100 %	25
6	Додаткова процедура рандомізації дослідів	+ 10 %	+ 3
7	Додаткова процедура побудови дробового факторного експерименту типу 2k-l, k – кількість факторів, l – дробовість репліки.	+ 30 %	+ 8

Для реалізації алгоритму побудови плану-матриці експерименту типу p^k рекомендується використовувати наступний метод чергування знаків. В першому стовпчику, в якому записують значення для першого фактору, знаки фактору чергуються з кроком p⁰; в другому стовпчику – з кроком p¹; …; в k-му стовпчику чергування здійснюється з кроком p^k-1. В таблиці 5.2 принцип чергування знаків наочно проілюстрований для експерименту типу 2³, в таблиці 5.5 – для експерименту типу 3³.

Таблиця 5.5.

План-матриця повного факторного експерименту типу 3³, побудована згідно до методу чергування знаків.

Номер досліду	Фактори			Значення цільової функції, y
	x1	x2	x3
1	+ 1	+ 1	+ 1
2	0	+ 1	+ 1
3	– 1	+ 1	+ 1
4	+ 1	0	+ 1
5	0	0	+ 1
6	– 1	0	+ 1
7	+ 1	– 1	+ 1
8	0	– 1	+ 1
9	– 1	– 1	+ 1
10	+ 1	+ 1	0
11	0	+ 1	0
12	– 1	+ 1	0
13	+ 1	0	0
14	0	0	0
15	– 1	0	0
16	+ 1	– 1	0
17	0	– 1	0
18	– 1	– 1	0
19	+ 1	+ 1	– 1
20	0	+ 1	– 1

Таблиця 5.5.(продовження)

21	– 1	+ 1	– 1
22	+ 1	0	– 1
23	0	0	– 1
24	– 1	0	– 1
25	+ 1	– 1	– 1
26	0	– 1	– 1
27	– 1	– 1	– 1

Аналітично метод чергування знаків для випадку експерименту типу 2^k може бути записаний наступним чином:

де i – номер досліду, j – номер фактору.

Очевидно, що при такому запису може приймати два значення: – 1 та + 1. Таким чином, використовуючи наведену залежність, можливо безпосередньо заповнити план-матрицю експерименту 2^k в кодованому вигляді.

Для експерименту типу 3^k слід використовувати наступні залежності:

де i – номер досліду, j – номер фактору.

Якщо K = 1/3, то ; якщо K = 2/3, то ; якщо K = 0, то .

При запису план-матриці з реальними значеннями факторів для кожної клітинки таблиці виконуються відповідні обчислення.