Лабораторна робота №1.

РОБОЧИЙ АРКУШ

Повний та дробовий факторний експеримент як засіб

дослідження процесів в двигунах внутрішнього згоряння.

Фактор	Основний рівень	Інтервал варіювання	Кількість рівнів фактора
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12

Рівень складності ___________

Студент групи ______ ПІПб__________________________

Викладач __________________________

Дата____________________

Контрольні питання

1. Поясніть відмінності між фізичним та чисельним експериментом при дослідженні процесів в ДВЗ. Наведіть переваги та недоліки кожного типу.

2. З якою метою застосовується планування експерименту?

3. В чому полягає планування оптимізаційного експерименту?

4. З якою метою виконують планування інтерполяційного експерименту?

5. Дайте визначення фактора, наведіть приклади факторів, які можуть бути застосовані при дослідженні процесів в ДВЗ.

6. Дайте визначення цільовій функції, наведіть приклади.

7. Дайте визначення поняттям: зона визначення фактору, основний рівень фактору, інтервал варіювання фактору.

8. Що таке функція відгуку, з якою метою вона застосовується в теорії планування експерименту?

9. Дайте визначення повного факторного експерименту та дробового факторного експерименту.

10. Розшифруйте позначення плану експерименту типу 3⁴. Яка кількість дослідів передбачена цим планом?

11. Розшифруйте позначення плану експерименту типу 2^4-1. Яка кількість дослідів передбачена цим планом?

12. З якою метою виконують рандомізацію плану експерименту? Для якого типу експерименту – чисельного чи фізичного – рандомізація є більш необхідною і чому?

Лабораторна робота №2.

Аналіз результатів експерименту за допомогою

поліномінальних регресійних рівнянь.

Мета роботи: розробка програмного засобу для визначення коефіцієнтів регресійних рівнянь для поліномінальних функцій відгуку шляхом обробки результатів повного факторного експерименту.

Теоретична частина

Після здійснення експерименту згідно з матрицею планування експерименту, дослідник отримує таблицю значень цільової функції (або декількох цільових функцій). Зрозуміло, що аналіз табличної функції з метою пошуку оптимального поєднання факторів (при вирішенні оптимізаційних задач), або з метою визначення певних закономірностей щодо досліджуваного об’єкту (при вирішенні інтерполяційних задач) є ускладненим. Для формалізації цих задач використовуються математичні моделі об’єкту дослідження, або функції відгуку, які отримують шляхом спеціальної обробки експериментальних даних.

Розглянемо приклад. В таблиці 6.1 наведені результати експериментального дослідження впливу кута випередження відкриття впускного клапана φ_в.вп та кута запізнення закриття впускного клапана φ_з.вп на потужність N_e бензинового двигуна, що працює на усталеному режимі роботи. Отже, в якості факторів використовувались параметри φ_в.вп та φ_з.вп, а в якості цільової функції – N_e. З таблиці 6.1 також очевидно, що експеримент виконувався за планом повного факторного експерименту типу 3², адже кількість факторів k = 2, а кількість інтервалів варіювання факторів – p =3. Основний рівень фактору φ_в.вп = 20 град. до ВМТ, а інтервал варіювання фактора – Δφ_в.вп = 15 град. Основний рівень фактору φ_з.вп = 15 град. після НМТ, а інтервал варіювання фактора – Δφ_з.вп = 10 град. Зазначимо, що подібний експеримент потребує виготовлення 9 розподільчих валів з різним профілем кулачків. За результатами експерименту постає питання: яке поєднання φ_з.вп та φ_в.вп слід обрати, для досягнення найбільшої потужності двигуна?

Таблиця 6.1

Результати експериментального дослідження впливу фаз газорозподілу впускного клапана на потужність бензинового двигуна (за повного відкриття дросельної заслінки та при сталому числі обертів колінчастого валу)

Номер досліду	Фактори, кодований вигляд		Фактори, значення		Значення цільової функції, Ne, кВт
	x1	x2	φв.вп, град. до ВМТ	φз.вп, град. після НМТ
1	+ 1	+ 1	35	25	44
2	+ 1	0	35	15	46,5
3	0	+ 1	20	25	46,5
4	+ 1	– 1	35	5	43
5	– 1	+ 1	5	25	44
6	0	– 1	20	5	41
7	– 1	0	5	15	43
8	0	0	20	15	47
9	– 1	– 1	5	5	40

Розглянемо візуалізацію табличної функції шляхом побудови графічних залежностей. На рис. 6.1а таблична функція двох змінних N_e = f (φ_в.вп, φ_з.вп) представлена у вигляді тривимірного графіка, на якому для наочності експериментальні точки вказані в вигляді стовпчиків, висота яких відповідає значенню цільової функції в кожній точці. На рис. 6.1б наведений графік табличної функції N_e = f (φ_в.вп, φ_з.вп) у вигляді ізоліній для трьох значень φ_з.вп. Аналізуючи рис. 6.1 можна визначити лише приблизний діапазон оптимального поєднання φ_в.вп та φ_з.вп – для більш точного визначення бракує експериментальних даних. Зрозуміло, що можна збільшити кількість дослідів, проте це потребуватимете значних затрат часу і коштів (в даному прикладі необхідно виготовити нові розподільчі вали).

φ_з.вп

φ_з.вп= 25

φ_з.вп= 5

φ_з.вп= 15

φ_в.вп

5

15

25

35

20

5

N_e, кВт

46

44

42

40

48

а) б)

Рис. 6.1. Графічне представлення результатів експерименту, наведених в таблиці 6.1.

Раціональніший шлях – визначення за результатами експерименту математичної моделі дослідження (функції відгуку), тобто аналітичної залежності цільової функції від факторів в вигляді математичного рівняння:

y = φ (x₁, x₂, …,x_k ).

В прикладі, що розглядається, постає задача пошуку аналітичного вигляду функції N'_e = f (φ_в.вп,φ_з.вп). Перш за все необхідно обрати тип функції, що використовується в якості функції відгуку. Обрання типу функції відгуку є дуже відповідальним кроком, при здійсненні якого слід враховувати відомі властивості об’єкту дослідження, тип експериментального дослідження (інтерполяційний чи оптимізаційний експеримент), інтервали варіювання факторів. Як правило, при обробці експериментальних даних, отриманих при випробуванні ДВЗ використовують поліномінальні моделі різної степені (здебільшого, не вище третьої степені). До переваг математичних моделей поліномінального типу слід віднести простоту математичних операцій над такими моделями та їх найбільш глибоку теоретичну розробку.

Наведемо приклади поліномінальних математичних моделей :

1. Для двофакторного експерименту:

поліном нульової степені: y = a₀;

поліном першої степені: y = a₀ + a₁x₁+a₂x₂;

поліном другої степені: y = a₀ + a₁x₁+a₂x₂+a₃ x₁ x₂+ a₄ x₁² +a₅ x₂²;

поліном третьої степені:

y = a₀ + a₁x₁+a₂x₂+a₃ x₁ x₂+ a₄x₁² +a₅x₂²+ a₆ x₁² x₂+a₇ x₁x₂²+ a₈ x₁³ +a₉ x₂³.

2. Для трифакторного експерименту:

поліном нульової степені: y = a₀;

поліном першої степені: y = a₀ + a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃;

поліном другої степені:

y = a₀ + a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+a₄ x₁x₂+a₅ x₁x₃+a₆ x₂x₃+ a₇ x₁² +a₈ x₂² +a₉ x₃².

В наведених рівняннях a_i – коефіцієнти рівнянь функції відгуку, які мають бути отримані шляхом спеціальної обробки результатів дослідів.

Для іншої кількості факторів поліномінальні рівняння отримуються аналогічним чином. Зазначимо, що вибір типу функції поверхні відгуку накладає відбиток на особливості побудови плану експерименту. Дійсно, якщо кількість рівнів факторів при експериментальному дослідженні p = 2, то можлива побудова лише лінійних математичних моделей, якщо p = 3 – можна побудувати як лінійну (поліном першої степені), так і квадратичну (поліном другої степені) математичну модель, якщо ж p = 4, то можлива побудова математичної моделі до третьої степені полінома включно.

Слід також підкреслити, що використання поліномінальних регресійних математичних моделей для формалізації функції відгуку неминуче супроводжується низкою спрощень та припущень, що є своєрідною «зворотною стороною» використання математичних моделей. Основним припущенням є неперервність та гладкість поверхні відгуку та існування лише одного екстремуму функції в зоні визначення факторів. Якщо ці припущення не відповідатимуть дійсності, що зчаста дуже складно або навіть неможливо перевірити, то результати аналізу можуть дати негативний результат. Розглянемо ілюстрацію, наведену на рис. 6.2, на якій зображені приклади цільових функцій, що залежать від одного фактору (які можуть бути отримані експериментально для досить малого кроку зміни фактору). Очевидно, що для опису поведінки реального об’єкту, якій відповідає залежність f₁ = f₁(x₁) (рис. 6.2а), цілком доречно використовувати поліномінальну функцію відгуку для отримання регресійного рівняння. Але для випадку, зображеному на рис. 6.2б, використання поліномінальної функції відгуку може призвести до суттєвої похибки, адже цільова функція f₂ = f₂(x₁) не є гладкою та має два екстремуми, при цьому в разі використання широкого інтервалу варіювання фактору x₁ один з цих екстремумів може бути невиявлений під час експерименту. Ще раз зауважимо, що, як правило, вигляд цільової функції невідомий експериментаторові.

Рис. 6.2. Приклади цільових функцій, які залежать від одного фактору.

Обчислення коефіцієнтів a_i здійснюється шляхом апроксимації табличних даних функцією обраного типу. Апроксимація, або наближення табличної функції f = f (x₁, x₂, …, x_k) – пошук функції g = g (x₁, x₂, …, x_k), близької до заданої функції. Критерії близькості функцій f = f (x₁, x₂, …, x_k) та g = g(x₁, x₂, …, x_k) можуть бути наступними: 1) функція g = f (x₁, x₂, …, x_k) у вузлових точках співпадає з функцією f = f (x₁, x₂, …, x_k); 2) функція g = g (x₁, x₂, …, x_k) має бути близькою до функції f = f (x₁, x₂, …, x_k) для всього інтервалу зміни факторів. Апроксимація за першим способом має назву інтерполяції. До недоліків інтерполяції слід віднести зчаста погану відповідність отриманої функції щодо поведінки реального об’єкту, що практично унеможливлює використання цього методу при вирішенні оптимізаційних задач, адже вони пов’язані з передбаченням поведінки об’єкту дослідження в діапазоні між відомими дослідними точками. Апроксимація за другим способом має назву регресії, а отримані рівняння функції відгуку – регресійними рівняннями. Регресійні рівняння адекватніше описують поведінку реального об’єкту, що поза іншим пов’язано з похибкою отриманих експериментальних даних та з необхідністю її урахування, тому в більшості випадків використовуються саме вони.

Таким чином, постає задача пошуку таких значень коефіцієнтів a_i, за яких отримана регресійна функція g= g (x₁, x₂, …, x_k) найбільш точно описує поведінку об’єкту дослідження. Найбільш поширеним методом вирішення цієї задачі є метод найменших квадратів. Метод найменших квадратів полягає в пошуку регресійної функції g = g (x₁, x₂, …, x_k), такої, що сума квадратів різниці між табличною функцією f = f (x₁, x₂, …, x_k) та регресійною функцією g = g(x₁, x₂, …, x_k), обчислених для вузлових точок табличної функції є мінімальною. Формалізуючи цю вимогу, запишемо:

де N– загальна кількість вузлових точок табличної функції (кількість дослідів), i – номер досліду, k – кількість факторів.

Враховуючі, що при визначенні функції g = g (x₁, x₂, …, x_k), значення факторів x₁, x₂, …, x_k є відомим з таблиці результатів експерименту, перепишемо наведену вище умову декілька інакше:

де a_i – коефіцієнти рівняння регресії; m – кількість коефіцієнтів в регресійному рівнянні.

В такому записі зрозуміло, що в якості невідомих змінних виступають коефіцієнти рівняння регресії, які необхідно знайти шляхом мінімізації функції багатьох змінних u(a_0, a_{1, ..} a_m).

Відомо, що екстремуму функції багатьох змінних відповідає рівність нулю її часткових похідних. Отже, для знаходження коефіцієнтів a_i необхідно вирішити систему рівнянь:

Якщо в якості рівнянь регресії використовуються поліномінальні рівняння, то наведена система рівнянь є системою лінійних алгебраїчних рівнянь та може бути вирішена з застосуванням відомих методів (зокрема, за методом Гауса, який буде розглянутий нижче).

Розглянемо докладніше особливості отримання системи рівнянь для регресійних рівнянь, які представляють собою поліноми різної степені. Найбільш простий випадок – коли кількість факторів k = 1, а в якості функції відгуку обрано поліном першої степені. В цьому випадку регресійне рівняння має вигляд:

g = g (x) = a₀ + a₁x.

Запишемо функцію u(a_0, a₁) та знайдемо її часткові похідні:

Розглянемо більш складний випадок – поліномінальне рівняння регресії другої степені для двох факторів:

g = g (x) = a₀ + a₁x₁+a₂x₂+a₃ x₁ x₂+ a₄ x₁² +a₅ x₂²,

Для вирішення наведеної системи рівнянь зручно застосувати метод Гауса, який належить до прямих методів вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), які мають вигляд:

де a₀, a₁, .. a_m – невідомі, які мають бути обчислені при розв’язанні системи; b_i,j – дійсні коефіцієнти, f_i – права частина рівнянь, i – номер рядка, j – номер стовбцю, m – кількість невідомих.

В матричній формі дана система має наступний вигляд:

B∙a = f,

Вирішення такої системи рівнянь полягає в визначенні вектора a за вхідним вектором f при відомій матриці B, яка складається з дійсних чисел та є невиродженою. Відомо, що при виконанні вказаних умов рішення СЛАР існує, є єдиним та стійким по вхідним каналам.

Нехай вектор aʹ = (aʹ_0, aʹ₁, …aʹ_m)^T є наближеним вирішенням СЛАУ. Необхідно отримати таке вирішення, що e = a – aʹ є мінімальним (e – похибка вирішення).

Метод Гауса складається з двох основних етапів, що мають назву прямий хід та зворотний хід. Прямий хід полягає в послідовному виключенню невідомих з системи рівнянь для перетворення її до еквівалентної системи з верхньою трикутною матрицею. Обчислення невідомих відбувається на етапі зворотного ходу.

Прямий хід складається з m ˗ 1 кроків виключення невідомих. На першому кроці здійснюється виключення невідомого a₀ в рівняннях з номерами 2, 3, 4 … m. Припустимо, що коефіцієнт b₁₁ ≠ 0 та назвемо його головним (або ведучім) елементом 1-го кроку.

Обчислимо множники першого кроку:

Віднімемо з другого, третього, …, m-го рівнянь перше рівняння системи, помножене відповідно на μ₂₁, μ₃₁,…μ_m1, що призведе до обернення на нуль коефіцієнтів при a₀у всіх рівняннях системи, окрім першого:

На другому кроці виключимо невідоме a₁ в рівняннях з номерами 3, 4, 5 … m. Припустимо, що коефіцієнт та назвемо його головним (або ведучім) елементом 2-го кроку.

Обчислимо множники другого кроку:

Віднімемо з третього, четвертого, …, m-го рівнянь друге рівняння системи, помножене відповідно на μ₃₂, μ₄₂,…μ_m2, що призведе до обернення на нуль коефіцієнтів при a₁у всіх рівняннях системи, окрім першого та другого:

Аналогічно здійснюються всі інші послідовні кроки Так, k-му кроці виключається невідоме a_k-1в рівняннях з номерами k+1, k+2, k+3 … m. Головним елементом k-го кроку обирається , та обчислюються множники:

а потім з k + 1-го, k + 2-го, …, m-го рівнянь віднімається k-те рівняння системи, помножене відповідно на μ_(k+1),k, μ_(k+2),k,…μ_mk.

Після m˗1-го кроку виключення отримаємо систему рівнянь:

матриця B якої є верхньої трикутною – отже прямий хід завершено.

Перш ніж перейти до опису процедури зворотного ходу, звернімо увагу на те, що при здійсненні прямого ходу для кожного кроку обчислення висувалася вимого рівності нулю головного елементу кроку . Зрозуміло, що у випадку коли головний елемент кроку дорівнює нулю відбудеться ділення на нуль при обчисленні множників і, таким чином, відбудеться аварійна зупинка алгоритму. Крім того, зважимо на те, що на k-му кроці прямого ходу коефіцієнти рівнянь системи розраховуються за формулами:

З цієї залежності зрозуміло, що для уникнення великих похибок при здійсненні алгоритму слід унеможливлювати виникнення під час його виконання великих значень коефіцієнтів μ_ik, адже ЕОМ має обмежену розрядність для збереження чисел.

Для усунення вказаних недоліків необхідно, щоб кожному кроку прямого ходу передувала процедура сортування рівнянь в системі, так щоб забезпечити на k-му кроці виключення невідомих в якості головного елементу максимальний по модулю коефіцієнт , шляхом заміни місцями рівняння, що вміщує максимальний елемент в поточному стовбці з k-м рівнянням системи. Таким чином буде гарантована залежність для всіх k = 1, 2 …m – 1 та i = k + 1, k + 2, … m, крім того, буде унеможливлений випадок ділення на нуль (якщо вихідна матриця B є невиродженою).

Зворотний хід. Зворотний хід полягає в обчисленні невідомих з використанням верхньої трикутної матриці, отриманої за результатами прямого ходу. Неважко довести, що шляхом зворотної підстановки невідомі змінні можуть бути обчислені наступним чином:

Обчислення похибки. Перший висновок про точність отриманого рішення можна отримати шляхом підстановки отриманих значень aʹ_j-1 (j = 0, 1, …m – 1)в ліву частину рівнянь. Таким чином можливо отримати вектор відхилу r:

де f₁ʹ, f₂ʹ,…f_mʹ – коефіцієнти правих частин, після підстановки вектору aʹ.

Більш суворою є наступна оцінка абсолютної Δa та відносної δa похибок вирішення СЛАР:

де ||aʹ||, ||r||, ||B^-1||,– норми векторів aʹ, r та матриці B^-1 відповідно, c_ij – елементи матриці B^-1, зворотної до матриці B, B_ij – алгебраїчні доповнення елементу матриці b_ij в її визначнику, detB – визначник матриці B.

Виконаємо апроксимацію даних, наведених в таблиці 6.1 за допомогою регресійного рівняння другої степені. Після розв’язку методом Гауса відповідної системи алгебраїчних рівнянь, отриманої вище, рівняння регресії матиме вигляд:

Nʹ_e = Nʹ_e (φ_в.вп,φ_з.вп) = 32,919+ 0,3991∙φ_в.вп + 1∙ φ_з.вп ˗ 0,005∙ φ_в.вп ∙ φ_з.вп ˗

˗ 0,0062963∙(φ_в.вп)² ˗ 0,0024167∙ (φ_з.вп)², кВт.

Для уявлення про точність описання експериментальних даних функцією відгуку обраного типу, розглянемо таблицю 6.2, в якій наведені значення експериментальних даних N_eта розрахункових значень Nʹ_e, отриманих за допомогою рівняння регресії, а також квадрат різниці між ними. Середнє квадратичне відхилення становить:

_{Зауважимо, що похибка експериментального вимірювання потужності двигуна становить, як правило, 0,5…1,0 %.}

Таблиця 6.2

Порівняння експериментальних даних з розрахунковими даними, отриманими в опорних точках за допомогою регресійного рівняння.

φв.вп, град. до ВМТ	35	35	20	35	5	20	5	20	5
φз.вп, після НМТ	25	15	25	5	25	5	15	15	5
Експериментальне значення Ne, кВт	44	46,5	46,5	43	44	41	43	47	40
Розрахункове Значення Nʹe, кВт	44,69	46,11	45,78	42,69	44,03	42,28	43,94	46,44	39,03
(Ne – Nʹe)2	0,48	0,15	0,52	0,09	0,00	1,63	0,89	0,31	0,95

Функція Nʹ_e (φ_в.вп,φ_з.вп) є параболоїдом, його частина, яка обмежена зоною визначення факторів, наведена на рис. 6.3. Слід зазначити, що більш зручним для аналізу є візуалізація регресійного рівняння у вигляді двовимірних графіків. На рис. 6.4 наведені два способи такої візуалізації.

На рис. 6.4а регресійна функція представляється в вигляді набору ліній постійного значення функції Nʹ_e (φ_в.вп, φ_з.вп), або ізоліній, побудованих в координатах факторів φ_в.вп, φ_з.вп шляхом проеціювання поверхні, зображеної на рис. 6.3 на площину φ_в.впφ_з.вп. Такий спосіб побудови дозволяє наочно представити напрямки зростання цільової функції та визначити в першому наближенні оптимальне поєднання факторів. На рис. 6.4б візуалізація регресійного рівняння здійснюється шляхом побудови залежностей Nʹ_e (φ_в.вп), отриманих шляхом перетину поверхні відгуку площинами φ_з.вп = idem.

30

44

φ_в.вп

φ_з.вп

5

15

25

20

10

Nʹ_e, кВт

46

42

40

48

10

20

38

Рис. 6.3. Візуалізація регресійного рівняння Nʹ_e (φ_в.вп, φ_з.вп) у вигляді тривимірного графіку.

Аналізуючи дані, представлені на рис. 6.3, 6.4 та в таблиці 6.2, можна зробити висновок, що регресійна функція у вигляді полінома другої степені адекватно описує експериментальні дані та може бути використана при пошуку оптимальних фаз газорозподілу на впуску.

Проілюструємо вплив типу регресійної функції. Якщо використати рівняння регресії у вигляді поліному першої степені, то поверхня відгуку представлятиме собою площину, зображену на рис. 6.4а. Як добре зрозуміло з рис. 6.4б, використання лінійної регресії дозволяє лише визначити напрямок найбільш швидкого зростання функції, та не дозволяє робити висновок про зону оптимального поєднання факторів.

15

30

φ_в.вп

φ_з.вп

5

25

20

10

10

20

Nʹ_e= 46

Nʹ_e= 45

Nʹ_e= 44

Nʹ_e= 43

42

41

40

φ_з.вп= 25

φ_з.вп= 5

φ_з.вп= 15

а) б)

Рис. 6.4. Візуалізація регресійного рівняння Nʹ_e (φ_в.вп,φ_з.вп) у вигляді двовимірного графіку.

44

15

φ_в.вп

φ_з.вп

5

15

25

35

20

5

Nʹ_e, кВт

46

42

40

48

38

φ_в.вп

φ_з.вп

5

25

21

14

7

10

20

Nʹ_e= 45,8

Nʹ_e= 44,9

Nʹ_e= 44

Nʹ_e= 43

28

35

Nʹ_e= 42

Nʹ_e= 41

а) б)

Рис. 6.5. Візуалізація функції відгуку, при апроксимації даних таблиці 6.1 поліномом першої степені.

Розглянутий приклад дозволяє більш докладно з’ясувати особливості інтерполяційного та оптимізаційного експерименту. Як зазначалося вище, інтерполяційний експеримент має на меті дослідження поведінки об’єкту в певній, як правило, досить широкій зоні визначення факторів. Внаслідок того, що реальні об’єкти дослідження, зокрема ДВЗ, мають здебільшого нелінійні ознаки, то, зрозуміло, що для адекватного відображення їх поведінки за допомогою математичних моделей слід використовувати нелінійні регресійні функції (зокрема, поліномінальні другої, третьої або четвертої степені), або використовувати інтерполяційні многочлени. В якості прикладу на рис. 6.6. зображена універсальна характеристика двигуна VW 1,9TDI, яка представлена в координатах g_e = f (p_e, n).

n, хв^-1

p_e, бар

g_e = f(p_e, n), г/(кВт∙год)

1

2

16

14

12

10

8

6

4

2

1000 2000 3000 4000

200

210

220

230

250

280

320

400

5000

Рис. 6.6. Універсальна характеристика автомобільного дизельного двигуна VW 1,9TDI. Ізолінії g_e отримані шляхом інтерполяції таблиць експериментальних даних.

1 – початкова точка оптимізаційного експерименту,

2 – кінцева точка оптимізаційного експерименту.

Очевидно, що для отримання такої характеристики необхідне експериментальне визначення параметрів двигуна для великої кількості значень факторів (яким в даному випадку виступають середній ефективний тиск p_e та частота обертання колінчастого валу n). Внаслідок суттєвої нелінійності функції g_e = f (p_e, n), використання в якості функції відгуку регресійного поліномінального рівняння суттєво ускладнюється, або навіть неможливе без значного відхилення від експериментальних даних. Тому кожна з наведених ліній постійного значення питомої ефективної витрати пального g_e, отримується за допомогою інтерполяційних многочленів.

Натомість універсальна характеристика, зображена на рис. 6.7 отримана за допомогою загального регресійного рівняння, яке апроксимує реальні дослідні точки та характеризується значно зменшеною нелінійністю.

Зрозуміло, що виконання подібних інтерполяційних експериментів потребує значної кількості дослідів для отримання адекватної інформації щодо об’єкту дослідження.

n, хв^-1

c_m, м/с

M_e,Н∙м

p_e,кПа

4 6 8 10 12

1000 2000 3000

420

380

340

300

260

220

180

140

800

700

600

500

400

300

220

g_e, г/(кВт∙год)

225

230

240

250

260

Рис. 6.7. Універсальна характеристика середньообертного дизельного двигуна. Ізолінії g_e отримані за допомогою загального регресійного рівняння.

Розглянемо випадок, якщо в якості мети експерименту була поставлена задача знаходження точки, що відповідає мінімальній питомій витраті пального (іншими словами – максимальному ефективному ККД) двигуна. За таких умов поведінка об’єкту дослідження в широкому діапазоні режимів роботи двигуна не цікавить дослідника, тому кількість дослідів може і має бути скорочена. Експеримент, в якому здійснюється пошук екстремуму цільової функції, як зазначалося вище, є оптимізаційним експериментом. Принцип проведення такого експерименту проілюстрований на рис. 6.6. Спочатку визначається g_e в довільній «базовій» точці 1, яка має координати (p_e1, n₁). Далі будується план-матриця повного факторного експерименту типу 2²для прийнятого інтервалу варіювання факторів Δp_e, Δn. За результатами виконання цього експерименту отримується лінійне регресійне рівняння, яке дозволяє визначити напрямок найбільшого зменшення функції g_e = f (p_e, n). Наступна базова точка обирається у відповідності до цього напрямку (або градієнту функції), для цієї точки також будується відповідна план-матриця експерименту, та визначається наступна точка. Таким чином, послідовно буде отримана точка 2 в якій буде досягнутий мінімум цільової функції g_emin. Подальше уточнення значення g_emin можливе шляхом зменшення інтервалів варіювання факторів Δp_e, Δn.

Аналогічним чином здійснюється оптимізаційний експеримент для більшого числа факторів. Отже, для інтерполяційного експерименту притаманне використання складних нелінійних рівнянь регресії, в той час як виконання оптимізаційного експерименту в більшості випадків може бути здійснено з використанням планів типу 2^k.

Послідовність виконання роботи

В даній роботі студенти мають розробити програму для виконання регресійного аналізу результатів експерименту, виконаного за планом експерименту. Програма регресійного аналізу може бути виконана різної складності у відповідності до таблиці 6.3. В залежності від складності програми студентом отримується належна кількість.

Таблиця 6.3

Варіанти виконання програми

обчислення коефіцієнтів рівняння регресії.

№	Вимоги до програми	Складність, відсоток	Кількість балів
1	Визначення регресійного рівняння типу y = a0 + a1x, для обробки однофакторного експерименту для фіксованої кількості дослідів N= 4.	50 %	13
2	Визначення регресійного рівняння типу y = a0 + a1x1+a2x2, для обробки двофакторного експерименту для фіксованої кількості дослідів N= 4.	60 %	15
3	Визначення регресійного рівняння типу y = a0 +a1x1+a2x2+a3x1x2+a4 x12+a5 x22, для обробки двофакторного експерименту для фіксованої кількості дослідів N= 9.	70 %	18
4	За вибором користувача визначення регресійного рівняння типу y = a0+a1x1+a2x2 або y = a0+a1x1+a2x2+a3x1x2+a4 x12+a5 x22, для обробки двофакторного експерименту для фіксованої кількості дослідів N = 9.	80 %	20
5	За вибором користувача визначення регресійного рівняння типу y = a0+a1x1+a2x2 або y = a0+a1x1+a2x2+a3x1x2+a4 x12+a5 x22, для обробки двофакторного експерименту для довільної кількості дослідів N = var.	100 %	25
6	Додаткова процедура візуалізації рівняння регресії.	+ 10 %	+ 3
7	Додатково визначення регресійного рівняння типу y = a0+a1x1+a2x2+a3x3, для обробки трифакторного експерименту для довільної кількості дослідів N = var.	+ 30 %	+ 8

В якості вихідних даних студенти отримують результати експерименту, наведені на робочому аркуші у вигляді таблиці. Розроблена програма має забезпечувати:

1. визначення коефіцієнтів рівняння регресії обраного типу шляхом вирішення СЛАР за методом Гауса з наведенням похибки обчислення коефіцієнтів (виконується в середовищі MS Excel + Visual Basic for Applications);

2. графічну візуалізацію функції відгуку з визначенням її екстремуму (виконується в середовищі Mathcad).

Послідовність виконання лабораторної роботи наступна:

1. Розробка алгоритму програми та побудова блок-схеми алгоритму.

2. Розробка інтерфейсу користувача в середовищі MicrosoftExcel.

3. Реалізація алгоритму в середовищі Visual Basic for Applications.

4. Реалізація візуалізації рівняння регресії в середовищі Mathcad.

При реалізації алгоритму в середовищі Visual Basic for Applications необхідно методом Гауса вирішити СЛАР. Блок-схема алгоритму цього методу представлена нижче.

Візуалізації рівняння регресії в середовищі Mathcad докладно описана в розділі 4.

Блок-схема розв’язання СЛАР методом Гауса