Поверхности вращения. Конические поверхности

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой во­круг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнения этой кривой запишутся в виде

(12.22)

Найдем уравнение поверхности, образованной вра­щением кривой L вокруг оси Oz.

Рис. 88.

Возьмем на поверхности произвольную точку M(x;y;z) (см. рис. 88). Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Oz, и обозначим точки пересечения ее с осью Oz и кривой L соответ­ственно через O₁ и N. Обозначим координаты точ­ки N через (0; у₁; z₁).Отрезки O₁М и O₁N являют­ся радиусами одной и той же окружности. Поэто­му O₁М = O₁N. Но O₁М = , O₁N = |y₁|. Следовательно, |y₁| = или у₁ = ± . Кроме того, очевид­но, z₁ = z.

Так как точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (12.22). Стало быть, F(y₁;z₁) = 0. Исключая вспомогательные координаты у₁ и z₁ точки N, приходим к уравнению

F(± ;z)=0 (12.23)

Уравнение (12.23) — искомое уравнение поверхности вращения, ему удо­влетворяют координаты любой точки М этой поверхности и не удовлетво­ряют координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.

Как видно, уравнение (12.23) получается из (12.22) простой заменой у на ± , координата z сохраняется.

Понятно, что если кривая (12.22) враща­ется вокруг оси Оу, то уравнение поверхно­сти вращения имеет вид

F(y;± )=0;

если кривая лежит в плоскости Оху (z = 0) и ее уравнение F(x; у) = 0, то уравнение поверхности вращения, образованной вра­щением кривой вокруг оси Ох, есть F(x;± )=0.

Рис. 89.

Так, например, вращая прямую у = z во­круг оси Oz (см. рис. 89), получим поверх­ность вращения (ее уравнение ± = z или х² + у² = z²). Она называется конусом второго порядка.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через данную точку Р и пересекающими данную плоскую линию L (не прохо­дящую через Р), называется конической поверхностью или конусом. При этом линия L называется направляющей конуса, точка Р — ее вер­шиной, а прямая, описывающая поверхность, называется образующей.

Пусть направляющая L задана уравнениями

(12.24)

а точка P(x₀;y₀;z₀) — вершина конуса. Найдем уравнение конуса.

Возьмем на поверхности конуса произвольную точку M(x;y;z) (см. рис. 90). Образующая, проходящая через точки Р и M, пересечет направляющую L в некоторой точке N(x₁;y₁;z₁). Координаты точки N удовлетворяют уравнениям (12.24) направляющей:

(12.25)

Канонические уравнения образующих, проходящих через точки Р и N, имеют вид

(12.26)

Исключая х₁, y₁ и z₁ из уравнений (12.25) и (12.26), получим уравнение конической поверхности, связывающее текущие координаты х, у и z.

Рис. 90.

Пример 12.3. Составить уравнение конуса с вершиной в точке О(0; 0; 0), если направляющей служит эллипс , лежащий в плоскости z = с.

Решение: Пусть М(х;у; z) — любая точка конуса. Канонические уравнения образующих, проходящих через точки (0;0;0) и точку (x₁;y₁;z₁) пересечения образующей ОМ с эллипсом будут . Исключим x₁;y₁;z₁ из этих уравнений и уравнения

(12.27)

(точка (x₁;y₁;z₁) лежит на эллипсе), z₁ = с. Имеем: , . Отсюда x₁ = с и y₁ = с . Подставляя значения x₁ и y₁ в уравнение эллипса (12.27), получим

или

Это и есть искомое уравнение конуса.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка

По заданному уравнению поверхности второго порядка (т. е. поверх­ности, уравнение которой в прямоугольной системе координат является алгебраическим уравнением второй степени) будем определять ее геометрический вид. Для этого применим так называемый метод сечений: ис­следование вида поверхности будем производить при помощи изучения ли­ний пересечения данной поверхности с координатными плоскостями или плоскостями, им параллельными.

Эллипсоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

(12.28)

Рассмотрим сечения поверхности (12.28) с плоскостями, параллельными плоскости хОу. Уравнения таких плоскостей: z = h, где h — любое число.

Линия, получаемая в сечении, определяется двумя уравнениями

(12.29)

Исследуем уравнения (12.29):

а) Если |h| > с, с > 0, то < 0. Точек пересечения поверхности (12.28) с плоскостями z = h не существует.

б) Если |h| = с, т. е. h = ±с, то = 0. Линия пересечения (12.29) вырождается в две точки (0;0;с) и (0;0;— с). Плоскости z = с и z =- с касаются данной поверхности.

в) Если |h| < с, то уравнения (12.29) можно переписать в виде:

Как видно, линия пересечения есть эллипс с полуосями (см. рис. 91)

При этом чем меньше |h|, тем больше полуоси а₁ и b₁. При h = 0 они достигают своих наибольших значений: а₁ = а, b₁ = b. Уравнения (12.29) примут вид

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверхности (12.28) плоскостями х = h и у = h.

Рис. 91.

Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить поверх­ность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверхность (12.28) называется эллипсоидом. Величины a, b и с называются полуосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид называется трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в эллипсоид вращения; если а = b = с, то — в сферу х² + у² + z² = a².