Гиперболический параболоид

Исследуем поверхность, определяемую уравнением

(12.34)

где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.34) плоскостями z = h. Получим кривую

которая при всех значениях h ≠ 0 является гиперболой. При h > 0 ее действительные оси параллельны оси Ох; при h < 0 параллельны оси Оу; при h = 0 линия пересечения распадается на пару пересекающихся прямых и . При пересечении поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (у = h), будут получаться параболы

ветви которых направлены вверх. При у=0 в сечении получается парабола

вершиной к начале координат и осью симметрии Oz.

Пересекая поверхность (12.34) плоскостями х =h, получим параболы у² = ветви которых направлены вниз.

Анализ линии пересечения позволяет определить вил поверхности: она имеет вид седла (см. рис. 95). Поверхность (12.34) намывается гиперболическим параболоидом.

Рис. 95.

Конус второго порядка

Исследуем уравнение поверхности

(12.35)

Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения , z = h. При h = 0 она вырождается в точку (0;0;0). При h ≠ 0 в сечении будем получать эллипсы

Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании |h|.

Рассечем поверхность (12.35) плос­костью Oyz (х = 0). Получится линия

распадающаяся на две пересекающие­ся прямые

и

При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у = 0 получим линию

также распадающуюся на две пересе­кающиеся прямые

и

Поверхность, определяемая уравнени­ем (12.35), называется конусом второго порядка, имеет вид, изобра­женный на рисунке 96.

Рис. 96.

Поверхности, составленные из прямых линий, называются линейча­тыми. Такими поверхностями являются цилиндрические, конические по­верхности, а также однополостный гиперболоид и гиперболический пара­болоид.

12