Однополостный гиперболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

(12.30)

Пересекая поверхность (12.30) плоскостью z = h, получим линию пересе­чения, уравнения которой имеют вид

или

Как видно, этой линией является эллипс с полуосями

a₁ = и b₁ =

Полуоси а₁ и b₁ достигают своего наименьшего значения при h = 0: а₁ = a, b₁ = b. При возрастании |h| полуоси эллипса будут увеличиваться.

Рис. 92.

Если пересекать поверхность (12.30) плоскостями х = h или у = h, то в сечении получим гиперболы. Найдем, например, линию пересечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz, уравнение которой х = 0. Эта линия пересечения описывается уравнениями

Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).

Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся трубки. Поверхность (12.30) называется однополостным гиперболоидом.

Замечание: можно доказать, что через любую точку гиперболоида (12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.

Двухполостный гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением

(12.31)

Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пересече­ния определяется уравнениями

(12.32)

Отсюда следует, что:

а) если |h| < с, то плоскости z = h не пересекают поверхности;

б) если |h| = с, то плоскости z = ±с касаются данной поверхности соответственно в точках (0; 0; с) и (0; 0; -с).

в) если |h| > с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси ко­торого возрастают с ростом |h|.

Пересекая поверхность (12.31) координат­ными плоскостями Oyz (х = 0) и Oxz (у = 0), получим в сечении гиперболы, уравнения кото­рых соответственно имеют вид

и

У обеих гипербол действительной «осью является ось Oz. Метод сечения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяемую уравнени­ем (12.31). как поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31) называется двухполостным гиперболоидом.

Рис. 93.

Эллиптический параболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

(12.33)

где р > 0, q > 0. Рассечем поверхность (12.33) плоскостями z = h. В сечении получим линию, уравнения которой есть

Если h < 0, то плоскости z = h поверхности не пересека­ют; если h = 0, то плоскость z = 0 касается поверхности в точке (0;0;0); если h > 0, то в сечении имеем эллипс, уравнение которого имеет вид,

Его полуоси возрастают с ростом h. При пересечении поверхности (12.33) координатными плоскостями Oxz и Oyz получатся соответственно параболы и . Таким образом, поверхность, определяемая уравнением (12.33), имеет вид выпук­лой, бесконечно расширяющейся чаши (см. рис. 94). Поверхность (12.33) называется эллиптическим параболоидом.

Рис. 94.