II. Теплопроводность неограниченного однородного цилиндрического стержня

Температурное поле при охлаждении неограниченного цилиндра с внутренними источниками теплоты изображено на рис. 2.

Рис. 2. Температурное поле в неограниченном цилиндре при действии равномерно распределенных внутренних источников теплоты

Для определения температурного поля и теплового потока в цилиндре необходимо задать геометрию расчетной области (коэффициент формы тела k = 2 и размер расчетной области R=D/2, где D – диаметр цилиндра), коэффициент теплопроводности материала цилиндра , мощность внутренних источников теплоты q_v , температуру теплоносителя T_f и коэффициент теплоотдачи  от поверхности цилиндра к текучей среде. Краткая форма записи исходных и искомых величин имеет вид:

Дано:k = 2; ; ; q_v; ; T_f;

Найти: T(r); T_c; T_w; T; Q(r); q_l

где r_ц – радиус цилиндра; T_c и T_w – температура оси и поверхности цилиндра; T – перепад температур по сечению цилиндра; q_l – линейная плотность теплового потока.

Математическая формулировка задачи

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

;

или в дивергентной форме

; (II.1)

Граничные условия:

; (II.2)

. (II.3)

Метод решения

Метод решения – аналитический метод разделения переменных. Предварительно умножим на «r» все члены дифференциального уравнения (II.1), записанного в дивергентной форме. Получим:

. (II.4)

Разделяем переменные и интегрируем первый раз:

.

Получаем:

. (II.5)

Делим на «r» все члены дифференциального уравнения (II.5):

или

. (II.6)

Разделяем переменные и, интегрируя второй раз, находим общий интеграл дифференциального уравнения теплопроводности (II.1):

;

(II.7)

Находим постоянные интегрирования С₁ и С₂. Для этого применим граничные условия (II.2) и (II.3). Из граничного условия на оси цилиндра и выражения (II.5) следует, что С₁ = 0. Тогда общее решение (II.7) примет вид:

. (II.8)

Из последнего выражения, записанного для поверхности цилиндра ( и ) имеем:

. (II.9)

Подставляя С₂ в общий интеграл (II.8), получаем решение дифференциального уравнения теплопроводности (II.1) при граничных условиях I рода:

. (II.10)

Из уравнения граничных условий III рода (II.3) выразим температуру на внешней границе цилиндра. Получим:

. (II.11)

Значение производной температуры на поверхности цилиндра ( ) найдем из выражения (II.6) с учетом С₁ = 0:

. (II.12)

Подставляя (II.12) в (II.11), находим температуру на поверхности цилиндра:

. (II.13)

И, подставляя выражение (II.13) в формулу (II.10), окончательно получим решение дифференциального уравнения теплопроводности (II.1) при граничных условиях третьего рода:

(II.14)

Из уравнения (II.14) видно, что температура по сечению цилиндра изменяется по закону параболы. Температуру в тепловом центре цилиндра рассчитывают по формуле, полученной из выражения (II.14) при r = 0:

(II.15)

Перепад температур по сечению цилиндра равен:

(II.16)

Тепловой поток найдем, используя закон Фурье и уравнение температурного поля (II.14):

. (II.17)

Тепловой поток, уходящий с поверхности цилиндра равен:

, (II.18)

где V – объем, м³; – длина (высота) цилиндра, м.

Линейная плотность теплового потока на поверхности цилиндра равна:

. (II.19)

Плотность теплового потока на поверхности цилиндра равна:

. (II.20)

Температурное поле цилиндра при граничных условиях

I рода

Теплообмен при граничных условиях первого рода является частным случаем теплообмена при граничных условиях третьего рода. При и получаем:

. (II.21)

. (II.22)

. (II.23)