V.2 Отвод теплоты только через внутреннюю поверхность

Рис. 5. Температурное поле в цилиндрической стенке

при действии внутренних источников теплоты

и отводе теплоты только через внутреннюю поверхность

Дано: r₁; r₂; λ; α₁; T_f1; q_v.

Найти: T(r); T_w1; T_w2; ΔT; q₁; q₂.

Математическая формулировка задачи

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

;

или в дивергентной форме

. (V.12)

Граничные условия:

; (V.13)

. (V.14)

Метод решения

Применяя аналитический метод решения дифференциального уравнения (V.12) – метод разделения переменных (см. раздел II), получаем

.

Задача заключается в определении постоянных интегрирования С₁ и С₂ из граничных условий (V.13) и (V.14).

Алгоритм определения С₁ и С₂ подробно изложен в разделе II при рассмотрении цилиндрического стержня.

Без вывода запишем формулу для расчета температурного поля в цилиндрической стенке при действии внутренних источников теплоты и отводе теплоты только через внутреннюю поверхность (запоминать не нужно):

(V.15)

Температура на внутренней теплоотдающей поверхности цилиндрической стенки T_w1 рассчитывают по формуле, полученной из выражения (V.15) при r = r₁:

. (V.16)

Температуру на внешней адиабатной поверхности цилиндрической стенки T_w2 рассчитывают по формуле, полученной из выражения (V.15) при r = r₂:

(V.17)

Перепад температуры по сечению цилиндрической стенки равен:

. (V.18)

Плотность теплового потока на внешней и внутренней поверхностях цилиндрической стенки равна:

- на внешней поверхности:

(V.19)

, т.к. q₁ направлен против оси Or.

- на внешней поверхности q₂=0.

Температурное поле цилиндрической стенки

при отводе теплоты только через внутреннюю

поверхность при граничных условиях I рода

Теплообмен при граничных условиях первого рода является частным случаем теплообмена при граничных условиях третьего рода. При и получаем формулу для расчета температурного поля цилиндрической стенки при граничных условиях первого рода:

. (V.20)

Из формулы (V.20) при r = r₂ получим выражение для расчета температуры на внешней поверхности T_w2 при граничных условиях первого рода:

.

V.3 Отвод теплоты через внутреннюю и наружную поверхности цилиндрической стенки

Рис. 6. Температурное поле в цилиндрической стенке

при действии внутренних источников теплоты

и отводе теплоты через внутреннюю и наружную поверхности

Дано: r₁; r₂; λ; α₁; α₂; T_f1; T_f2; q_v.

Найти: r_с; T(r); T_w1; T_w2; ΔT; q₁; q₂.

Математическая формулировка задачи

Дифференциальное уравнение теплопроводности:

;

или в дивергентной форме

. (V.20)

Граничные условия:

; (V.21)

. (V.22)

Метод решения

Изотермическая поверхность T_c=const разделяет цилиндрическую стенку на два слоя. Во внутреннем слое теплота передается внутрь трубы, а во внешнем – наружу.

Если известен радиус r_c – радиус теплового центра, то можно воспользоваться уже известными решениями для расчета температурного поля при теплоотводе только с наружной поверхности (раздел V.1) и только с внутренней поверхности цилиндрической стенки (раздел V.2).

Выведем формулу для расчета радиуса r_c. Для этого запишем максимальные перепады температур во внешнем и внутреннем слоях.

Выражение для расчета максимального перепада температуры во внешнем слое получим из формулы (V.8), заменив T_w1 на T_c и r₁ на r_c :

. (V.23)

Выражение для расчета максимального перепада температуры во внутреннем слое получим из формулы (V.18), заменив T_w2 на T_c и r₂ на r_c :

. (V.24)

Вычитая левые и правые части двух уравнений (V.23) и (V.24), получим:

или ,

откуда .

Приведя это выражение к общему знаменателю и с учетом, что , окончательно получим:

. (V.25)

Заметим, что для расчета r_c по формуле (V.25) T_w1 и T_w2 должны быть известны.

Если T_w1=T_w2, то ,

т.е. r_c=f(r₁ и r₂) и не зависит от условий теплообмена.

Зная r_c, температуру в тепловом центре T_c легко найти по формулам (V.23) или (V.24).

Распределение температуры во внешнем слое, (r_c<r<r₂) рассчитывается по формуле (V.5) из раздела V.1, в которой необходимо заменить r₁ на r_c:

(V.26)

Распределение температуры во внутреннем слое (r₁<r< r_с) рассчитывается по формуле (V.15) из раздела V.2, в которой необходимо заменить r₂ на r_c:

(V.27)

Температуры стенок T_w1 и T_w2 находят из уравнений теплового баланса.

(V.28)

где , , ,

подставляя значения V и F, получим

откуда

(V.29)

Решая последнюю систему, находим радиус теплового центра и температуры поверхностей T_w1 и T_w2 .

35