IV. Единые формулы решения задачи стационарной теплопроводности для тел простейшей формы при действии внутренних источников теплоты
Выпишем основные расчетные формулы, полученные в предыдущих разделах лекции.
Температурное поле
Неограниченная пластина (k = 1):
. (IV.1)
Неограниченный цилиндр (k = 2):
. (IV.2)
Шар (k = 3):
. (IV.3)
Единая формула (k = 1, 2,3):
.
(IV.4)
Температура поверхности тела
Неограниченная пластина (k = 1):
.
(IV.5)
Неограниченный цилиндр (k = 2):
.
(IV.6)
Шар (k = 3):
.
(IV.7)
Единая формула (k = 1, 2,3):
.
(IV.8)
Температура теплового центра тела
Неограниченная пластина (k = 1):
. (IV.9)
Неограниченный цилиндр (k = 2):
.
(IV.10)
Шар (k = 3):
. (IV.11)
Единая формула (k = 1, 2,3):
.
(IV.12)
Перепад температур по сечению тела
Неограниченная пластина (k = 1):
. (IV.13)
Неограниченный цилиндр (k = 2):
.
(IV.14)
Шар (k = 3):
. (IV.15)
Единая формула (k = 1, 2,3):
.
(IV.16)
Поверхностная плотность теплового потока
Неограниченная пластина (k = 1):
;
;
.
(IV.17)
Неограниченный цилиндр (k = 2):
; 
.
(IV.18)
Шар (k = 3):
; 
.
(IV.19)
Единая формула (k = 1, 2,3):
; 
.
(IV.20)
Тепловой поток
Неограниченная пластина (k = 1):
,
(IV.21)
,
(IV.22)
Неограниченный цилиндр (k = 2):
.
(IV.23)
, (IV.24)
Шар (k = 3):
.
(IV.25)
, (IV.26)
Единая формула (k = 1, 2,3):
.
(IV.27)
,
(IV.28)
Линейная плотность теплового потока
Неограниченный цилиндр (k = 2):
. (IV.29)
.
(IV.30)
V. Теплопроводность цилиндрической стенки
V.1 Отвод теплоты только через наружную поверхность
Рис. 4. Температурное поле в цилиндрической стенке
при действии внутренних источников теплоты
и отводе теплоты только через наружную поверхность
Дано: r1; r2; λ; α2; Tf2; qv.
Найти: T(r); Tw1; Tw2; ΔT; q1; q2.
Математическая формулировка задачи
Дифференциальное уравнение теплопроводности:
;
или в дивергентной форме
. (V.1)
Граничные условия:
; (V.2)
. (V.3)
Метод решения
Применяя аналитический метод решения дифференциального уравнения (V.1) – метод разделения переменных (см. раздел II), получаем
. (V.4)
Задача заключается в определении постоянных интегрирования С1 и С2 из граничных условий (V.2) и (V.3).
Алгоритм определения С1 и С2 подробно изложен в разделе II при рассмотрении цилиндрического стержня.
Без вывода запишем формулу для расчета температурного поля в цилиндрической стенке при действии внутренних источников теплоты и отводе теплоты только через наружную поверхность (запоминать не нужно):
(V.5)
В частом случае, при r1=0 и r2=R из формулы (V.5) получаем формулу (II.14) для однородного цилиндрического стержня.
Температура на внутренней адиабатной поверхности цилиндрической стенки Tw1 рассчитывают по формуле, полученной из выражения (V.5) при r = r1:
(V.6)
Температуру на внешней теплоотдающей поверхности цилиндрической стенки Tw2 рассчитывают по формуле, полученной из выражения (V.5) при r = r2:
.
(V.7)
Перепад температуры по сечению цилиндрической стенки равен:
(V.8)
Плотность теплового потока на внешней и внутренней поверхностях цилиндрической стенки равна:
- на внешней поверхности:
(V.9)
– на внутренней поверхности q1=0.
В частном случае при r1=0 плотность теплового потока на внешней поверхности цилиндрической стенки равна (см. формулу (II.20):
.
Температурное поле цилиндрической стенки
при отводе теплоты только через наружную поверхность
при граничных условиях I рода
Теплообмен при граничных условиях
первого рода является частным случаем
теплообмена при граничных условиях
третьего рода. При
и
получаем
формулу для расчета температурного
поля цилиндрической стенки при граничных
условиях первого рода:
. (V.10)
Из формулы (V.10) при r = r1 получим выражение для расчета температуры на внутренней поверхности Tw1 при граничных условиях первого рода:
.
(V.11)