Определение и свойства скалярного произведения векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла междуними.

Обозначается ab,а* b(или( а, b)).Итак, по определению,

  

Формуле   (6.1)   можно   придать   иной   вид.   Так   как | a| cos=пр _ba, (см. рис.14), a |b| cos = пр _ab, то получаем:

      

 т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

6.2. Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

  

Решение:                                                              

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0b, то а  b

.

13

Теорема о выражении скалярного произведения через координаты векторов-сомножителей

Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:

— если векторы   и   относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты   и  соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

(1.9)

— если векторы   относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты   и  соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

(1.10)

Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис  . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:

(1.11)

Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов   и  получаем:

Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому

что и требовалось доказать.

14

Определение и свойства векторного произведения векторов

Векторным произведением векторов   и   называется вектор  , который определяется следующими условиями:

1) Его модуль равен   где   - угол между векторами   и  .

2) Вектор   перпендикулярен к плоскости, определяемой перемножаемыми векторами   и  .

3) Вектор   направлен так, что наблюдателю, смотрящему с его конца на перемножаемые векторы   и  , кажется, что для кратчайшего совмещения первого сомножителя со вторым первый сомножитель нужно вращать против часовой стрелки (см. рисунок).

Векторное произведение векторов   и   обозначается символом  :

     (25)

или

     (26)

Основные свойства векторного произведения:

1) Векторное произведение   равно нулю, если векторы   и   коллинеарны или какой-либо из перемножаемых векторов является нулевым.

2) При перестановке местами векторов сомножителей векторное произведение меняет знак на противоположный (см. рисунок):

Векторное произведение не обладает свойством переместительности.

15