Теорема о выражении векторного произведения через координаты векторов-сомножителей

Пусть в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k. Наложим на этот базис еще одно дополнительное условие, а именно: из конца вектора k поворот от i к j по кратчайшему направлению должен быть виден против часовой стрелки.

        Определение 10.27   Упорядоченную тройку некомпланарных векторов   будем называть правой тройкой векторов, если из конца третьего вектора   поворот от первого вектора   ко второму вектору   по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки. Если поворот виден по часовой стрелке, то тройку называют левой тройкой векторов.         

Оказывается, если векторы правой тройки изменять непрерывно, но так, чтобы в любой момент времени они были не компланарны, то в любой момент такой деформации эта тройка векторов будет правой тройкой. Аналогичным свойством обладает и левая тройка векторов.

Отметим также, что определение векторного произведения и правой (левой) тройки вектров связаны с наличием в пространстве "физических" объектов: часов, человека и т. п. В абстрактном векторном пространстве, где такие объекты отсутствуют, определить, какая тройка -- правая, а какая -- левая, невозможно. Можно только все некомпланарные тройки векторов разбить на два класса такие, что при непрерывной деформации тройки одного класса, при которой в любой момент векторы тройки не компланарны, тройка все время остается в своем классе.

Итак, пусть в трехмерном пространстве задан ортонормированный базис i, j, k, векторы которого образуют правую тройку векторов. Такой базис будем называть правым.

Используя определение векторного произведения, легко проверить следующую таблицу умножения   :

a \ b	i	j	k
i	0	k	- j
j	- k	0	i
k	j	- i	0

        Предложение 10.24   Пусть   ,   . Тогда

        Доказательство.     По условию   ,   . В силу  предложений 10.20 и 10.21 получим

(10.5)

По тем же правилам

По таблице умножения   . Аналогично находим   ,   . Подставив полученные результаты в формулу (10.5),

получим

16

Определение и выражение через координаты векторов-сомножителей смешанного произведения векторов

Свойства смешанного произведения

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей (не меняется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер):  .

2. Смешанное произведение не меняется  знаков векторного и скалярного умножения: , поэтому смешанное произведение записывают  .

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене любых двух вектор-сомножителей:  , .

4. Смешанное произведение ненулевых векторов  ,   и   равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны:  ,  ,   – компланарны .

Доказательство. Предположим, что векторы  ,   и   – не компланарны. Тогда можно построить параллелепипед имеющий объем  , т.е.  , но это противоречит условию, согласно которого,  . Следовательно, векторы  ,   и   – компланарны.

Обратно, пусть  ,   и   – компланарны. Тогда вектор   и перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы  ,   и  , значит, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, например   Это значит, что    .

Смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат:

 

,   и  .

 

Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

.

 

Итак,

.

17