Матрицы: определения, операции над матрицами

Прямоугольной матрицей размера m´n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов. Мы будем записывать матрицу в виде

                                                                   (4.1)

или сокращенно в виде A = (a _{i j} ) (i =   ; j =   ). Числа a _{i j}, составляющие данную матрицу, называются ее элементами; первый индекс указывает на номер строки, второй - на номер столбца. Две матрицы A = (a _{i j} ) и B = (b _{i j} ) одинакового размера называются равными, если попарно равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, то есть A = B, если a _{i j} = b _{i j}.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, называется соответственно вектор-строкой или вектор-столбцом. Вектор-столбцы и вектор-строки называют просто векторами.

Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. Матрица размера m´n, все элементы которой равны нулю, называются нулевой матрицей и обозначается через 0. Элементы матрицы с одинаковыми индексами называют элементами главной диагонали. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то есть m = n, то матрицу называют квадратной порядка n. Квадратные матрицы, у которых отличны от нуля лишь элементы главной диагонали, называются диагональными матрицами и записываются так:

.

Если все элементы a _{i i} диагональной матрицы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается буквой Е:

                                                                           .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, стоящие выше (или ниже) главной диагонали, равны нулю. Транспонированием называется такое преобразование матрицы, при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением их номеров. Обозначается транспонирование значком Т наверху.

Равенство матриц. Две матрицы   и   одинакового размера m на nназываются равными, если   , i = 1,2,…,m, j=1,2,…,n.

Если матрицы A и B равны, то будем писать A=B.

Линейные операции. Суммой двух матриц A и B размера m на n называется матрица C размера m на n, элементы которой определяются равенством

Сумму матриц A и B будем обозначать C=A+B.

Матрица   называется противоположной к матрице   .

Теорема 2.1 Операция сложения матриц обладает следующими свойствами: для любых матриц   и нулевой матрицы 

1) A+B=B+A; (перестановочность или коммутативность операции сложения

2) (A+B)+C = A+(B+C); (ассоциативность или сочетательное свойство)

3) A+O = O+A =A;

4) A+(-A)=(-A)+A=O.

Перечисленные выше свойства непосредственно вытекают из определения и доказываются по единой схеме.

Разностью матриц   и   называется матрица A+(-B).

Разность матриц A и B будем обозначать A-B.

Произведением матрицы   на число   называется матрица  , элементы которой определены равенством

Произведение матрицы A на число   будем обозначать   .

Теорема 2.2 Операция умножения матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)   ;

2)   ;

3)   (Распределительное свойство относительно сложения матриц);

4)   (Распределительное свойство относительно сложения чисел);

5) -A=(-1)A.

Все перечисленные свойства непосредственно вытекают из определения.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число позволяют для произвольных матриц   одинакового размера   и произвольных чисел  однозначно определить матрицу   , называемуюлинейной комбинацией матриц   с коэффициентами   .

Умножение матриц. Произведением матриц   и  называется матрица   , элементы которой определены равенством

Произведение матриц A и B будем обозначать C=AB.

Из определения следует, что произведение AB определено лишь в том случае, когда число столбцов матрицы A совпадает с числом строк матрицы B. Это означает, что оба произведения AB и BA определены тогда и только тогда, когда матрицы A и B имеют размеры   и   соответственно. Следовательно равенство AB=BA возможно лишь для квадратных матриц одинакового порядка. Однако и в этом случае произведение матриц, вообще говоря, зависит от порядка сомножителей.

Матрицы A и B называются перестановочными или коммутирующими, если AB=BA.

Теорема 2.3 Операция умножения матриц обладает следующими свойствами:

1) (AB)C=A(BC); (Свойство ассоциативности)

2)   , для любого действительного числа 

3) A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC (Свойство дистрибутивности), для любых матриц A, B, C,для которых левые части равенств имеют смысл.

Справедливость свойств 2) и 3) доказываются непосредственно.

В качестве иллюстрации приведём доказательство первого равенства свойства 3). Пусть  ,   ,   . Матрицы A(B+C) и AB+ACимеют одинаковый размер -   . Пусть   - элемент матрицы A(B+C) в позиции (i,j),  - элемент матрицы AB+AC в позиции (i,j), тогда

Из равенств (1) и (2) следует, что   , что доказывает первое равенство свойства 3).

Подробное доказательство свойства 1) можно найти в учебнике В. А. Ильин, Г. Д. Ким "Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Заметим, что для любой матрицы   и единичных матрицы   и  справедливо:

Транспонирование матриц. Пусть   . Матрица  называется транспонированной к матрице A, если

Транспонированная матрица также обозначается символами   и   .

Заметим, что при транспонировании матрицы её строки становятся столбцами матрицы   , с теми же номерами, а столбцы - строками.

Теорема 2.4. Операция транспонирования матриц обладает следующими свойствами:

1)   ;

2)   , для любого действительного числа   ;

3)   ;

4)   , для любых матриц A и B, для которых имеют смысл левые части равенств.

Свойства 1), 2), 4) непосредственно вытекают из определения.

Приведём доказательство свойства 3). Пусть   и   , при таком согласовании размеров матриц A и B произведения AB и   существуют, при этом размеры   и   совпадают и равны   . Пусть   - элемент матрицы AB в позиции (i,j),   - элемент матрицы   ,   - элемент матрицы   в позиции (i,j).

что доказывает справедливость свойства 3). 

18