20. Линия уравнений и неравенств в курсе математики основной школы. Основные методы решения уравнений в основной школе:

Метод приведения к простейшему виду путем преобразования левой и правой частей уравнения (каких именно?); метод подстановки (когда впервые можно познакомить?); метод разложения на множители (где встречается?); графический метод (его особенности, алгоритм использования).

Равносильные уравнения и неравенства. Равносильные и неравносильные преобразования уравнений. Теоремы о равносильности уравнений, неравенств.

Общая последовательность изучения материала линии уравнений и неравенств.

Цели: Обобщить и систематизировать методику изучения линии уравнений и неравенств, знать основные этапы изучения темы, основные типы их изучения.

Лекция. К основным классам уравнений, неравенств и их систем, изучаемых в основной школе относятся:

1) линейные уравнения с одним неизвестным;

2) линейные неравенства с одним неизвестным

3) системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;

4) квадратные уравнения и неравенства;

5) иррациональные и трансцендентные уравнения и неравенства.

Введение каждого нового класса уравнений сопровождается введением новой области числовых выражений, входящих в стандартную форму записи ответа.

Например: при записи ответа квадратных уравнений могут быть квадратные корни 3 + , что требует множества R; при записи ответов тригонометрических уравнений может быть форма , . Такое распределение числовых областей сохраняется на протяжении всего школьного курса математики. Внешние признаки записи ответа до некоторой степени помогают учащимся ориентироваться в материале и контролировать получаемый результат.

٭ Изучение уравнений, неравенств, систем, сводящихся к основным классам.

Каждый из основных классов уравнений, неравенств, систем уравнений имеет четкую, стандартную форму записи.

х² + х – 1 = 0 - квадратное, а х² + х = 1 не является квадратным.

При решении текстовых задач алгебраическим методом получаемые модели не обязательно имеют форму, связанную с каким-либо основным классом. Приходится их сводить к основным классам некоторым образом.

Выделяется несколько типов уравнений и неравенств, сведение которых к основным классам выполняется просто.

Их изучают вслед за основными в тесном взаимодействии с ними.

Системы вида

х + у = 1

2х + 3у = 4х – 2 изучаются сразу после изучения систем в ст. виде. Приводим заданную систему к виду

х + у = 1 х + у = 1

-2х + 3у = -2 и 2х – 3у = 2

Классификация вторичных классов уравнений и неравенств обширнее, чем основных. Она включает:

– упражнения 1 степени;

– биквадратные;

– алгебраические;

– иррациональные.

По мере введения этих классов возникают взаимосвязи, которыми пользуются для упрощения процесса решения.

Например, при решении биквадратных уравнений используют способ сведения его к квадратному уравнению и затем решения как квадратного. Этот способ используется на протяжении изучения всего школьного курса.

٭ Формирование общих приемов решения и исследования уравнений, неравенств, и их систем.

В ходе изучения уравнений, неравенств, систем различных классов выявляется роль общих, универсальных средств решения и исследования.

Эти средства можно разделить на три группы:

1 – логические методы обоснования решения (равносильные преобразования, логическое следование). Эти переходы выполняют до тех пор, пока уравнение сведется к основному виду.

2 – вычислительные приемы, посредством которых производятся упрощения частей уравнений или неравенств, проверка найденных корней при помощи подстановки в промежуточные вычисления.

Роль вычислительных приемов велика.

3 – наглядно-графические приемы используют в качестве основы координатную прямую или плоскость.

Использование координатной прямой позволяет решать неравенства, системы линейных неравенств, квадратные неравенства, уравнения и неравенства с модулями.

Рассмотреть на примерах: /х - а/ = в

Использование координатной прямой или плоскости позволяет применить графические методы к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем. Один из ярких примеров – графическое решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Он используется для исследования этого класса систем. В качестве подготовительной работы рассматривают график линейного уравнения с двумя переменными. Построение графика сводится к построению графика линейной функции; уравнение ах + ву = с сводится к виду и используются известные факты о линейной функции.

Графическое изображение применяется и там, где аналитическая запись громоздка (например, схема решения квадратных неравенств).

Область применения графического метода ограничена, так как с его помощью можно использовать только задания

– с известными графиками,

– с точками, не выходящими за пределы чертежа,

– учитывать погрешности, которые неизвестны.

Тем не менее, графический метод, использующий координатную плоскость, играет важную роль в решении и исследовании уравнений и неравенств. Графические приемы являются важной составляющей частью координатного метода. Дальнейшему освоению этого метода способствует расширение запаса геометрических фигур, задаваемых уравнениями и неравенствами (окружность, гипербола, парабола).

٭ Синтез материала линии уравнений и неравенств.

Последняя ступень в освоении школьной теории уравнений и неравенств относится к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений и неравенств в единую, целостную систему.

На этой ступени предлагаются более сложные задания, которые нужно распознать и свести к одному из типовых классов и организовать процесс решения. Эта ступень относится к прохождению последних тем курса и к итоговому повторению: в результате формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и систем.

В курсе математики старших классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений, неравенств и их систем. Но это мало влияет на уже сформированную систему; они дополняют ее новым фактическим содержанием, не меняя сложившиеся связи, содержащие различные классы. На более высоком уровне владения материалом связи становятся более освоенными, учащиеся в процессе решения легко их восстанавливают.

Итог занятия.

Вопросы для самопроверки:

1. Дать определение квадратного уравнения.

2. Вывести формулы корней квадратного уравнения.

3. Рассказать методику решения квадратных

уравнений.

4. Вывод теоремы Виета.

5. Неполные квадратные уравнения.

6. Методика решения дробно-рациональных уравнений.

7. Рассказать особенности методики изучения уравнений и неравенств.

8. Таблица различных случаев решения квадратичных неравенств.

9. Общая последовательность изучения линии уравнений и неравенств.