Линия уравнений и неравенств в курсе математики основной школы. Изучение свойств числовых неравенств. Решение линейных неравенств с одной переменной, квадратных неравенств, метод интервалов.
Методика решения неравенств и систем неравенств. (2 лекции)
Цели: Знать особенности изучения неравенств и влияние их на построение программы НСШ, уметь подтвердить примерами из учебника.
Лекция. Основные этапы изучения уравнений, неравенств и их систем.
В курсе НСШ уравнения и неравенства изучаются во взаимосвязи и их изучение имеет свои особенности:
1 – постепенное возрастание количества классов уравнений и неравенств и приемов их решения. За счет увеличения объема материала изучение нового усложняется наличием уже изученного.
2 – установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление обобщенных типов преобразований, упрощение обоснования решения.
В результате взаимодействия этих особенностей материал представляется учащимся в компактном виде, не затрудняющем, а облегчающим обучение.
Выделяются четыре основные ступени:
1) независимое изучение основных типов уравнений и неравенств и их систем;
2) расширение количества изученных классов уравнений, неравенств, систем;
3) формирование приемов решения и анализа уравнений, неравенств, систем;
4) синтез материала линии уравнений и неравенств.
Среди всех изучаемых типов уравнений, неравенств и систем выделяются основные типы:
а) линейные уравнения с одним неизвестным;
б) линейные неравенства с одним неизвестным;
в) системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными;
г) квадратные уравнения и неравенства.
Эти классы изучаются с большой тщательностью, для них доводится до автоматизма выполнение алгоритмов решения, указывается форма записи ответов.
После усвоения материала целесообразно предлагать и такие задания, в которых могут возникать нестандартные для данного класса уравнений ответы.
Каждый из основных классов уравнений, неравенств, систем требует проведения исследования зависимости результата от коэффициентов, например:
а) у линейного уравнения – один корень
б) у квадратного количество корней зависит от Д
в) - в системе двух линейных уравнений одно решение, если
(прямые
∩)
- множество решений, если
(прямые
совпадают)
- нет решений, если
(прямые
параллельны)
г) Для неравенств рассматриваются простейшие особенности геометрических фигур, изображающих множество их решений на координатной плоскости.
Изучение неравенств в основной школе организовано так же, как и уравнений, они проходят те же этапы изучения, но имеют свои особенности.
1) Как правило, навыки решения неравенств находятся на более низком уровне, чем уравнений соответствующих классов, так как теория неравенств сложнее, чем теория уравнений.
2) Большинство приемов решения неравенств состоит в переходе от неравенства а > в к уравнению а = в и затем от нахождения корней уравнения к решению неравенства. Эту особенность нужно постоянно подчеркивать, чтобы данный метод превратился в основной метод решения неравенств.
3) В изучении неравенств большую роль играют наглядно-графические средства. Эти особенности учитель использует при распределении материала по темам:
а) чтобы повысить технику решения неравенств изучаемого класса достаточно выполнить большое количество упражнений.
б) вторая особенность показывает, что решение неравенств всех классов рассматривается после изучения уравнений соответствующих классов.
в) третья особенность зависит от уровня изучения функции в основной школе.
Эти особенности показывают, что изучение предшествующего материала сильно влияет на изучение неравенств.
◄ Приведем примеры:
1) * Линейные уравнения
а) ах + в = 0
ах = -в
х
=
б) ах + с- вх - d = 0
ах – вх = d - с
х(а – в) = d - с
х
=
* Линейные неравенства:
а) ах + в > 0
ах > - в
х > -
Ответ:
(-
)
б) ах + с – вх – d > 0
х(а – в) > d – с
х
>
Ответ:
Решение неравенств усложняется свойством: при делении обеих частей неравенства на отрицательное число 0, знак неравенства меняется на противоположный.
2) * Квадратные неравенства.
Изучаются после квадратных уравнений и квадратного трехчлена. Учащиеся уже умеют строить график квадратного трехчлена и находить нули функции, поэтому переход к неравенству вида ах2 + вх +с > 0 можно осуществить как переход к построению графика функции
у = ах2 + вх + с сначала для случая Д > 0 и наличия двух корней, рассмотреть на конкретном примере, на котором устанавливается соответствие между двумя задачами:
Решить неравенство ах2 + вх +с > 0 и найти значение аргумента, для которых значение функции у = ах2 + вх + с положительны, т.е. решение неравенства переходит к построению графика функции.
Нули этой функции разбивают ось абсцисс на три промежутка, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак, поэтому ответ считывается с чертежа.
Затем рассматривают Д = 0 и Д < 0, они опираются на тоже правило, но требуют дополнительного внимания. Заполняется соответствующая таблица.
Выясняют, что график квадратичной функции не обязательно вычерчивать точно, достаточно найти только х1 и х2.
В основной школе ограничиваются только изучением неравенств основных классов и из упражнений прикладного характера выполняют исследование корней уравнений в зависимости от параметров и нахождение области определения.