20. Функциональная линия в школьном курсе математики. Изучение квадратичной функции в школе.

Изучение квадратичной функции мы рекомендуем начать с наиболее простого вида этой функции, то есть с функции у=а х². В этом случае ее значение пропорционально квадрату значений независимой переменной.

 Сперва рассматривается частный случай, когда а=1, т. е. функция у=х². Легко устанавливается, что:

 1)функция определена для любого значения аргумента, так как каждое число может быть возведено в квадрат;

 2)функция может принимать только положительные значения и 0;

 3)график функции, кроме точки (0;0), расположен над осью Ох и ось Оу является осью симметрии графика функции (график данной функции называется параболой);

 4)функция у=х² при изменении х от 0 до +¥ возрастает, а при изменении х от -¥ до 0 убывает;

 5)при х=0 функция достигает минимума.

 После этого следует перейти к рассмотрению функции у=а х², где а¹1. На одном чертеже строятся графики функции для различных значений а>0, например:

 у=х² ; у=2 х² ; у= х².

 Ученики легко усваивают, что эти функции обладают теми же свойствами, что и функция у=х². Различие только в том, что при а>1 графики быстрее поднимаются вверх, а при 0<a

 При х=0 функция у=а х² достигает наименьшего значения; наибольшего значения функция не имеет.</a

 Для построения этих графиков нет необходимости составлять заново таблицу значений. Например, имея график функции у=х², для нахождения графика функции у=2 х² достаточно уменьшить масштаб на оси Оу в два раза.

 Необходимо установить общность и различие свойств функции у=а х² при а>0 и a<0.

 Необходимо обратить внимание учеников на то, что при а<0 функция у=а х² принимает наибольшее значение при х=0 и не имеет наименьшего значения, что при а<0 ветви параболы направлены вниз.

 Полезны упражнения следующего рода: построить график функции у=-ах², если дан график функции у=а х².

 Изучение функции у=а х²+с и построение ее графика не вызовет затруднений, если сравнить ее с функцией у=а х². При а>0 функция имеет минимум при х=0; при a<0 функция имеет максимум при х=0. Различие будет в том, что вершина параболы смещается вдоль оси Оу в зависимости от знака с.

 Полезно предложить учащимся начертить таблицу для различных случаев расположения графиков.

 Особенно существенным является вопрос о корнях уравнения ах²+с=0, то есть тех значений аргумента, при которых функция принимает значение, равное 0.

 После изучения функции вида у=а х²+с мы рекомендуем перейти к изучению функции, представляющей полный квадратный двучлен, то есть к функции вида у=а(х+m)² . Этот промежуточный этап облегчает понимание сдвига параболы вправо или влево вдоль оси Ох. Останавливаться очень подробно на функции данного вида нет большой необходимости. Достаточно проделать с учащимися несколько примеров следующего вида:

 у=2х²-12х+18 или у=2(х-3)².

 Ученики должны ясно представлять себе, что парабола обращена ветвями вверх (а=2>0), вершина параболы сдвигается вдоль оси Ох на расстояние, равное 3 единицам, в точке М(3, 0) парабола касается оси Ох и при х=3 функция достигает минимума. Аналогично исследуется и функция у=-3х²-12х-12.

 Далее следует перейти к рассмотрению квадратичной функции общего вида: у=aх²+bх+c.

 Исследование квадратичной функции полезно увязать с дискриминантом соответствующего квадратного уравнения. В результате исследования ученики могут составить соответствующую таблицу (сделать самостоятельно).

 Функция у=aх²+bх+c.

 Координаты вершины   

20. Функциональная линия в школьном курсе математики. Изучение степенной функции с натуральным показателем (четным и нечетным). Понятия степени с натуральным показателем, корня n-й степени из числа a; их свойства.

Цели: Формирование умений и навыков по построению графиков разными способами; нахождению области определения функции.

Лекция- практикум.

В 7 классе учащиеся должны познакомиться с общим определением понятия функции в теме «Функции и графики». Современное определение понятия функции как соответствия приемлемо для средней школы в следующем изложении.

Величина у есть функция от х, если каждому допустимому численному значению х соответствует некоторое, вполне определенное численное значение.

Вот как выглядит изложение той же темы «Понятие функции» в соответствии с дедуктивным подходом:

1. Зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями.

2. Зависимость переменной у от переменной х называют функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х).

3. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Говорят, что у является функцией от х.

4. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

5. Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции; все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют множество значений функции.

6. Для функции f приняты обозначения: D(f) -область определения функции, E(f) - множество значений функции, f (х₀) - значение функции в точке х₀.

7. Если D(f) R и E(f) R, то функцию называют числовой.

8. Элементы множества D(f) также называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы E(f) - значениями функции.

9. Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

10. Графиком функции называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.

Первой из класса степенных функций рассматривается функция у=х². Ее свойства во многом отличаются от рассмотренного ранее случая линейных функций. Прежде всего, эта функция немонотонна; только на этом этапе у учащихся появляется пример функции, отличной от линейных, которые монотонны на всей области определения. Чтобы подчеркнуть указанное отличие, полезно предложить учащимся следующее задание: функция задана формулой у=х² на промежутке -2≤х≤3. Найти множество значений этой функции. Перенося свойство монотонности с класса линейных функций на функцию у=х², учащиеся часто делают ошибку, приводя ответ: промежуток 4≤x≤9. Эта ошибка для своего устранения требует рассмотрения графика функции у=х².

Другое отличие состоит в том, что характер изменения значений функции у=х² неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других — медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика: один — в крупном масштабе на промежутке,. -1≤x≤1, другой—в мелком масштабе на промежутке, например, -3≤х≤3. Построение можно вести методом загущения. Важно отметить свойство параболы - симметричность относительно оси абсцисс; в дальнейшем это свойство приведет к рассмотрению класса четных функций, причем именно функция у = х² будет ведущим примером функции этого класса.

При этом выясняется геометрический смысл коэффициента а. Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах²+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.

Пример 5. Задан график функции у=х². Построить на этом чертеже график функции у=х²+1.

После этой подготовки вводится в рассмотрение новый подкласс квадратичных функций вида у=а(х-b)². Объяснения при построении графиков здесь в целом могут быть такими же, как при рассмотрении функций вида у=x²+с, однако усваивается предлагаемый способ здесь с большим трудом, поэтому требуется достаточное количество упражнений для закрепления. После таких приготовлений построение графика, а также изучение его свойств происходят без принципиальных затруднений.

К изучению класса кубических функций привлекается прием, аналогичный изучению квадратичных функций, основанный на использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной кубической функции из кубической параболы стандартного положения — графика функции у=ах³, а≠0.

Как и в случае с квадратичной функцией у=х² видим, что характер изменения значений функции у=х³ неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других — медленнее. Важно отметить свойство кубической параболы - симметричность её графика относительно начала координат.

Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах³+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.

Далее необходимо подвести учащихся к основным свойствам функции y=x³:

Область определения - вся числовая прямая;

y=x³ -нечетная функция;

Функция возрастает на всей числовой прямой.

Методика введения понятия функции вида y= основана на аналогичном примере:

Построение графика квадратичной функции (выделением кв. трехчлена)

1 способ.

у = ах² + вх + с

функция у = ах².

Например,

2 способ. По корням кв. трехчлена х₁ и х_2. Они симметричны координаты вершины лежат на оси их симметрии.

3 способ. По точкам с ординатой, равной свободному члену.

х₁ = 0 х₂ = -8

Координата вершины х = -4, у находим из формулы.

Пример: у = -х² + 6х – 5.