4. Тригонометрические функции
Тригонометрические функции: , , , . В таблице 2.4 приведены основные характеристики этих функций.
Таблица 2.4.
График функции |
Характеристики Функции |
-1
1
|
1)
,
2) нечетная,
3)
периодическая, основной период
4) не строго монотонная, строго возрастает при
строго убывает при
5)
нули:
6)
ограниченная, при всех
:
|
1
–1 |
1) , , 2) четная, 3) периодическая, основной период , 4) не строго монотонная, строго возрастает при
строго убывает при
5)
нули:
6)
ограниченная, при всех
:
|
1 |
,
1)
, 2) нечетная,
3)
периодическая, основной период
4) строго монотонно возрастает на , 5) нули: , , 6) не ограниченная, 7) прямые ( ) – вертикальные асимптоты. |
|
,
1)
, 2) нечетная функция, 3) периодическая, основной период , 4) строго монотонно убывает на , 5) нули: , , 6) не ограниченная, 7) прямые ( ) – вертикальные асимптоты.
|
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
.
,
,
,
5. Обратные тригонометрические функции
Функции
,
,
,
являются функциями, обратными к
соответствующим тригонометрическим
функциям
,
,
,
.
В таблице 2.5 приведены основные
характеристики этих функций.
Таблица 2.5.
|
,
1)
2) нечетная, 3) строго возрастающая,
4) ограниченная,
при всех
выполняется
5) нуль при . |
|
,
1)
,
2) строго убывающая,
3) ограниченная,
при всех
выполняется
4) нуль при .
|
|
,
1)
,
2) нечетная, 3) строго возрастающая,
4) ограниченная,
при всех
выполняется
5) нуль при , 6)
прямые
|
|
,
1)
,
2) строго убывающая,
3) ограниченная,
при всех
выполняется
4)
прямые
,
|
,
,
.
,
.
,
,
,
– горизонтальные асимптоты.
,
,
– горизонтальные асимптоты.
Введем некоторые классы функций, необходимые нам в дальнейшем.
Определение 2.3. Элементарными функциями называются функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических операций и конечного числа композиций функций.
Так,
элементарными являются функции
,
,
.
Часто в прикладных задачах встречаются так называемые кусочно-заданные функции. Они задаются в виде следующей системы
(2.1)
где
– элементарные функции, причем
.
Заметим, что вместо интервалов в (2.1)
могут использоваться также отрезки или
полуинтервалы (конечные или бесконечные).
Например,
или
С помощью степенных функций образуются многочлены (полиномы)
, (2.2)
где числа
– коэффициенты, причем коэффициент
при старшей степени
отличен от нуля. Многочлен (2.2) часто
обозначают символом
,
где число
называют степенью многочлена.
Например, многочлен
(
).
Определение 2.3. Рациональной функцией называются отношение двух многочленов
(
,
).
(2.3)
Например,
,
и т.д.