Лекция 4

7. Раскрытие неопределенности .

8. Раскрытие неопределенности .

7. Раскрытие неопределенности

Рассмотрим предел от дробно-рациональной функции, где – многочлены степеней n, m соответственно. В этом случае для раскрытия неопределенности необходимо вынести за скобки в числителе и знаменателе дроби множитель , где – наибольшее из степеней . После вынесения сократить функцию на общий множитель и произвести оценку предела, учитывая, что ( , ).

Пример 1. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) 2) ; 3) .

Решение

1) В пределе имеем неопределенность , многочлены , . Выносим за скобки в числителе и знаменателе функции (дроби) множитель ( ). Тогда получаем

.

2) Имеем предел , где ,

. Выносим за скобки в числителе и знаменателе дроби

множитель ( ). Тогда получаем

.

3) Вычисляем

.

Можно непосредственно доказать (сделайте самостоятельно), что

где , .

Рассмотрим далее , где – бесконечно-большие функции при , содержащие в общем случае корни различных степеней. В этом случае для раскрытия неопределенности применяется тот же прием, что и выше. За скобки в числителе и знаменателе дроби необходимо вынести множитель , где – наибольшая степень из всех возможных степеней переменной с учетом корней. Заметим, что целесообразно число выбирать натуральным. Поясним на примерах этот прием.

Пример 2. Вычислить пределы (раскрыть неопределенность ):

1) ; 2) .

Решение

1. Для предела имеем ,

, , . Вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель , так как степень 1 наибольшая из всех степеней переменной с учетом корней , :

.

2) В пределе имеем , , , . Вынесем за скобки в числителе и знаменателе множитель , так как степень 2 наибольшая из всех степеней переменной с учетом корней , :

.

Раскрытие неопределенности

Рассмотрим предел ( ), причем многочлены таковы, что . Для раскрытия неопределенности , возникающей в пределе, необходимо выделить в многочленах линейный множитель (он и дает неопределенность). После сокращения числителя и знаменателя на множитель , необходимо снова оценить предел и при возникновении неопределенности заново применить этот способ. Теоретически предлагаемая схема выглядит так:

,

где – некоторые многочлены степеней соответственно. При выделении общего линейного множителя руководствуются тем фактом, что так как при многочлены обращаются в нуль, то они без остатка делятся на (например, столбиком или при помощи схемы Безу), откуда и получаются многочлены .

Пример 1. Вычислить пределы:

1) ; 2) ; 3) .

Решение

1) В пределе имеем , , , . Разложив многочлены на множители (по формулам сокращенного умножения), выделим общий множитель и после сокращения снимем неопределенность:

.

2. Оценивая предел , имеем неопределенность

.

Значит, числитель и знаменатель делятся на линейный множитель . Проводя деление столбиком, получим (знаменатель раскладываем по разности кубов):

3). Выделяем в числителе и знаменателе дроби множитель (то есть делим многочлены на ):

.

В полученном пределе имеем снова неопределенность . Выделяя множитель , получим

Рассмотрим далее предел ( ), в котором алгебраические функции обращаются в нуль в точке : . Данный предел отличается от рассмотренного выше предела тем, что функции не являются многочленами от переменной и в общем случае содержат корни различных степеней. Для раскрытия неопределенности , как и выше, необходимо выделить в числителе и знаменателе линейный множитель , дающий неопределенность.

На практике выделение множителя можно проводить различными методами: сопряженных выражений, замены переменной или разложением на множители. Рассмотрим на практике эти методы.

Пример 2. Вычислить пределы: 1) ; 2) .

Решение

1) Для предела имеем неопределенность , так как , , , . Применим здесь метод сопряженных выражений. Умножим и разделим числитель, знаменатель функции на – выражение, сопряженное к (вообще, выражения , называют сопряженными, их произведение ). Получаем

.

Из решения примера наглядно видно, что применив метод сопряженных выражений, мы избавились сначала от корня в числителе:

,

выделив множитель , и сократив на него, избавились от неопределенности.

2) Имеем предел . Воспользуемся методом сопряженных выражений для выделения множителя . Имеем

.

Видно, что умножение числителя и знаменателя на выражение привело к выделению множителя только в числителе. Поэтому применим метод сопряженных выражений к знаменателю (умножим и разделим на выражение – сопряженное к знаменателю):

.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение. В пределе появляется неопределенность . Для раскрытия этой неопределенности сначала приводим дроби к общему знаменателю, в результате чего получаем неопределенность :

.

Разложив на множители , получим

.