6. Понятие бесконечно-малой функции, бесконечно-большой функции, их свойства. Основные теоремы о пределах ф1п, свойства пределов

Считаем, что – предельная точка для области определения функции. При этом , или , или .

Определение 1. Функция называется бесконечно-малой функцией в точке , если предел функции в равен нулю: .

Поясним данное понятие. Пусть . Тогда означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется .

Пусть . Тогда означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется .

Пусть . Тогда означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется .

Приведем конкретные примеры бесконечно-малых функций.

Пример 1. 1) Функция является бесконечно-малой функцией в точке , так как . Аналогично – бесконечно-малая в точке .

	2) Функция является бесконечно-малой в точке , о чем свидетельствует ее график. При неограниченном уменьшении переменной график функции приближается к оси абсцисс ( – горизонтальная асимптота). Можно убедиться, что функция является бесконечно-малой при .
	3) Функция вида ( ) является бесконечно-малой функцией при и , о чем свидетельствует график (при , ). При неограниченном уменьшении переменной график функции приближается к оси абсцисс (аналогичная ситуация при ).

Отметим свойства бесконечно-малых функций. Пусть функции , – бесконечно-малые в точке ( ). Тогда:

1. функция – бесконечно-малая функция в точке ,

2. функция – бесконечно-малая функция в точке ,

3. если – ограниченная функция, то – бесконечно-малая функция в точке ,

4. функция – бесконечно-малая функция в точке ( ).

Теорема 1 (О существовании конечного предела функции). Число является пределом функции в точке ( ) тогда и только тогда, когда существует некоторая функция – бесконечно-малая в точке ( ) такая, что .

Определение 2. Число называется пределом функции в точке , если разность между функцией и числом есть некоторая функция , являющаяся бесконечно-малой в точке .

Наряду с бесконечно-малыми функциями, выделяют также бесконечно-большие функции.

Определение 3. Функция называется бесконечно-большой в точке , если предел функции в равен бесконечности: .

Пусть . Тогда ( ) означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех

выполняется (соответственно ).

Пусть . Тогда ( ) означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется (соответственно ).

Пусть . Тогда ( ) означает, что для любого числа найдется число такое, что при всех выполняется (соответственно ).

Приведем примеры бесконечно-больших функций.

Пример 2.

	Функция является бесконечно-большой в точке (см. график). При неограниченном увеличении переменной график функции неограниченно возрастает. Можно непосредственно убедиться, что функция является бесконечно-большой при .
		2) Функция вида ( ) является бесконечно-большой при , о чем свидетельствует график. При стремлении переменной к нулю график функции приближается к оси ординат.

Связь бесконечно-малой функции с бесконечно-большой функцией состоит в следующих утверждениях. Если функция – бесконечно-малая в т. , то функция – бесконечно-большая в т. . И наоборот, если функция – бесконечно-малая в т. , то функция – бесконечно-малая в т. . На основании этих утверждений введем следующие обозначения:

, .

Теорема 2 (Правила вычисления пределов функции). Пусть , ( ). Тогда:

1) , ,

2) ,

3) ( ).