Лекция 2

3. Связь производной функции с ее непрерывностью

Напомним одно из определений непрерывной функции в точке, основанном на приращении функции.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции , то есть

.

Связь производной функции с ее непрерывностью показывается следующей теоремой.

Теорема. Если функция в точке имеет конечную производную , то она непрерывна в точке .

Доказательство. По условию имеем . Тогда

.

Из этой теоремы вытекает следующее утверждение. Если функция не является непрерывной в точке (имеет разрыв любого рода), то в этой точке функция не имеет конечной производной, то есть через точку нельзя провести касательную.

Утверждение, обратное к теореме, не выполняется.

4. Правила дифференцирования функций

Далее приведем формулировку и доказательство важной теоремы, называемой правилами дифференцирования функций.

Теорема (правила дифференцирования функций).

Пусть функции , в точке имеют конечные производные , . Тогда функции , , точке имеют конечные производные, которые вычисляются по формулам

, (4.1)

, (4.2)

( ). (4.3)

Доказательство. Ограничимся доказательством формул (4.1) и (4.3). По условию теоремы имеем производные

, причем ,

, причем .

Для функции составим приращение:

.

Перегруппируем слагаемые:

.

Тогда производная функции равна

.

Для разности формула доказывается аналогично.

Для функции приращение имеет вид:

.

Воспользовавшись равенствами ,

, получим:

.

Тогда производная функции равна

.

Заметим, что если какая-то из функций является постоянной, то правила дифференцирования значительно упрощаются.

Следствие. Константу можно выносить за знак производной:

( ), (4.4)

( ). (4.5)

Формулу (4.1) можно обобщить на большее количество функций.

Следствие 1. Если функции в точке имеют конечные производные, то

. (4.6)

Формула (4.2) на случай трех функций примет вид.

Следствие 2. Если функции в точке имеют конечные производные, то

(4.7)

Лекция 3

5. Таблица производных основных элементарных функций. Примеры вычисления производных функций

При решении задач, в которых необходимо найти производную функции (то есть продифференцировать ее), встречаются простейшие – так называемые основные элементарные функции. В подобных случаях необходимо применять таблицу производных основных элементарных функций.

Таблица производных основных элементарных функций

№	Производная	№	Производная
1		2
3		4	( )
5		6
7	( , , )	8
9		10
11		12
13		14
15		16
17		18

Формулы 1–6 – это производные от степенных функций (формула 4 основная из них, остальные – следствия из нее), формулы 7, 8 – производные от показательных функций, формулы 9, 10 – производные от логарифмических функций, формулы 11 – 14 – производные от тригонометрических функций, формулы 15 – 18 – производные от обратных тригонометрических функций.

Докажем некоторые табличные производные, пользуясь определением производной.

Табличные производные 2, 3, 5, 6 – это непосредственные следствия формулы 4. Так, например, для ( ) имеем

.

Докажем табличную производную 7. Пусть . Тогда приращение .

Согласно эквивалентности при , находим производную

.

Табличная производная 8 является прямым следствием формулы 7.

Докажем табличную производную 9. Пусть . Приращение

.

Согласно эквивалентности при , находим производную

.

Табличная производная 10 является прямым следствием формулы 9.

Докажем производную 11. Для функции приращение имеет вид (применяем формулу разности синусов)

Используя эквивалентность при , получим

.

Пусть . Для доказательства табличной производной 13 воспользуемся правилом дифференцирования – формулой (4.3) (дифференцирования частного), где , . Тогда учитывая, что , , получим

.

Покажем на примерах применение правил дифференцирования и табличных производных.

Пример 1. Найти для функции производную :

.

Решение. Применяя формулу (4.1) дифференцирования суммы, разности и правило (4.4) вынесения константы за знак производной, получаем

.

Ответ: .

Пример 2. Найти для функции производную :

.

Решение. Для данной функции необходимо сначала использовать производную разности (формула (4.1)), а затем производную произведения (формула (4.2), где , ):

.

Ответ: .

Пример 3. Найти для функции производную :

Решение. Используем производную частного (формула (4.4), где , ), а затем производную суммы и разности:

.

Упростим найденную производную. Раскрывая скобки, получим

.

Ответ: .