Свойства дифференциала

Процесс отыскания дифференциала, как и процесс отыскания производной, называют дифференцированием. Так как дифференциал отличается от производной лишь множителем , то по таблице производных легко составить таблицу дифференциалов основных элементарных функций.

Таблица дифференциалов основных элементарных функций

№	Дифференциал	№	Дифференциал
1		2	( )
3	( , , )	4
5		6
7		8
9		10
11		12
13		14

Правила обращения с дифференциалами получаются из соответствующих правил для производных. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2 (правила вычисления дифференциалов функций). Пусть функции , дифференцируемы в точке . Тогда

( ),

,

,

, .

Справедливость теоремы вытекает из правил обращения с производными функций.

Пример. Найти дифференциал для функции .

Решение. Согласно теореме 2 вычислим дифференциал произведения двух функций , :

12. Применение дифференциала при вычислении приближенных значений функций. Задача линеаризации функции

Рассмотрим применение дифференциала. Пусть функция является дифференцируемой на интервале , содержащем точку . Тогда при приращение функции можно представить в виде

.

Так как – бесконечно-малая функция при , то этой функцией можно пренебречь:

( ).

Обозначая , имеем , или

. (12.1)

Определение. Формула (12.1) называется формулой линеаризации функции в окрестности точки (разность мала).

Согласно формуле (12.1), исходную дифференцируемую функцию вблизи точки можно приближенно заменить линейной функцией

.

Другими словами, вблизи точки график функции можно приближенно заменить на касательную, проведенную через точку графика функции с абсциссой .

Формулу (12.1) также можно переписать в виде

. (12.2)

Рассмотрим два типичных примера на применение дифференциала.

Пример 1. Вычислить приближенно значение выражения .

Решение. Зададим функцию , положим , . Тогда пользуясь формулой (12.2), получим

.

Пример 2. Линеаризовать функцию

в окрестности точки . Пользуясь полученной формулой, вычислить значение функции в точке .

Решение. Исходная функция является дифференцируемой в произвольной точке , ее производная

.

Вычисляем далее

,

.

Применяя формулу (12.1), получаем

.

Тогда

.

Вычисляя значение при помощи калькулятора, получим

.

Сравнивая полученные результаты, видим, что они совпадают с точностью до десятых долей.

Лекция 7

13. Производные высших порядков

Пусть – производная для функции . Составим для функции приращение .

Определение. Если существует предел отношения приращения функции ( ) к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется второй производной функции в точке и обозначается

. (13.1)

Функция называется производной первого порядка функции , функция называется производной второго порядка функции :

.

Аналогично можно определить производную третьего порядка

.

И вообще, производная -го порядка определяется в виде

.

Для вычисления производных высших порядков не обязательно пользоваться формулой (13.1). Достаточно применять правила дифференцирования.

Пример 1. Найти первую, вторую, третью, четвертую производные для функции

.

Решение. Вычисляем первую производную (применяем правило дифференцирования частного двух функций):

.

Вычисляем вторую производную (используем правило дифференцирования сложной степенной функции)

.

Вычисляем третью производную

.

Вычисляем четвертую производную

.

Пример 2. Найти общий вид производной -го порядка функции . Пользуясь полученной формулой, найти значение .

Решение. Находим производные от функции :

, , , …,

.

Итак, общий вид производной -го порядка функции :

.

Пользуясь полученной формулой, находим значение

.