9. Производные функций, заданных различными способами
9.1. Производная функции, заданной в параметрическом виде
Определение
1. Функция
,
где переменные
задаются в виде системы
(9.1)
называется
функцией, заданной в параметрическом
виде.
Переменная
называется параметром,
заданном на множестве
(множество
берется по виду конкретной функции).
Для дифференцирования функции , заданной в параметрическом виде (9.1), применяют следующую формулу
.
(9.2)
Заметим, что производная, найденная по формуле (9.2), зависит от переменной (параметра) .
Пример 1. Найти производную для функции , заданной в параметрическом виде
Решение.
Найдем отдельно производные по параметру
от функций
.
Получим
Применяя формулу (9.2), получим
.
9.2. Производная неявно заданной функции
Определение 2. Функция , где переменные удовлетворяют уравнению (условию)
(9.3)
называется функцией, заданной в неявном виде.
Для
дифференцирования функции
,
заданной неявно в виде (9.3), применяют
следующую схему. Продифференцировав
обе части равенства (9.3) по переменной
(учитывая при этом, что
зависит от
),
получим уравнение первой степени
относительно производной
.
Выразив производную
через переменные
,
найдем ее искомый вид. Заметим, что
полученная производная
,
найденная от функции (9.3), зависит от
обеих переменных
.
Пример 2. Найти производную для функции , заданной в неявном виде
.
Пользуясь
полученной формулой для
,
найти значение производной при
,
то есть вычислить значение
.
Решение. Дифференцируя это уравнение и помня, что у является функцией от , получим:
.
Оставляем слагаемые, содержащие в левой части, остальные слагаемые переносим в правую часть. После чего выражаем через переменные :
Итак, производная функции имеет вид
Теперь вычисляем значение . Для этого достаточно подставить в полученную производную . Получим
Лекция 6
11. Понятие дифференциала функции одной переменной
Пусть – функция, заданная на области определения . Составим приращение этой функции ( ):
Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение этой функции можно представить в виде
,
(11.1)
где
не зависит от приращения
;
– бесконечно-малая функция при
(
),
причем
.
При
этом выражение
называется дифференциалом
функции
в точке
и обозначается
.
Пример.
Показать, что функция
является дифференцируемой в произвольной
точке
и найти ее
дифференциал
.
Решение. Находим приращение функции
Преобразуем полученное приращение к виду (11.1), выделив выражение (не зависящее от ) и функцию :
Выражение
не зависит от приращения (зависит от переменной ).
Функция
является бесконечно-малой функцией при , причем
.
Таким образом, все условия определения дифференцируемой функции выполняются. При этом дифференциал функции имеет вид
.
Связь дифференциала функции с производной функции
Связь дифференциала функции с ее производной показывается в следующей теореме.
Теорема 1. Функция является дифференцируемой в точке тогда и только тогда, когда функция в этой точке имеет конечную производную , причем дифференциал функции имеет вид
.
(11.2)
Из теоремы непосредственно вытекает, что
.
Например, для функции было показано, что
.
Пусть
для определенности
.
Тогда по формуле (11.2) имеем
,
то
есть приращение переменной
равно дифференциалу
переменной:
.
В соответствии с этим дифференциал функции можно записать в виде
.
(11.3)
Таким образом, для нахождения дифференциала функции достаточно производную этой функции умножить на дифференциал независимой переменной.
Определение. Главная часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента называется дифференциалом первого порядка функции .
Подчеркнем, что дифференциал – линейная относительно функция и что он отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка, чем .
Пример
2.1. Найти
дифференциал для функции
.
Решение. Согласно формуле (11.3)
