Потоки случайных событий.

Потоком событий называется последовательность однородных событий, появляющихся одно за другим в случайные моменты времени.

Поток событий в общем случае – просто последовательность случайных точек на временной оси.

Потоки событий различаются по внутренней структуре, т.е. по закону распределения интервалов между событиями (их связанности и т.д.).

С потоком событий можно связывать различные случайные события: например, рассчитать вероятность того, что за время произойдет отказ одного или двух генераторов.

Рассмотрим основные свойства случайных потоков.

1. Ординарность.

Поток случайных событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок , примыкающий к моменту времени , двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события.

Для рассматриваемой системы энергообеспечения это будет означать, что между отказами двух генераторов обязательно существует интервал времени .

Для характеристики случайного потока вводится понятие его интенсивности.

Для ее нахождения рассмотрим ординарный поток случайных событий и обозначим через число случайных событий, попадающих на интервал , примыкающий к моменту времени .

Ряд распределения этой случайной величины имеет следующий вид:

0	1	2	…	n	…

Найдем среднее число событий, наступающих на интервале :

.

Тогда среднее число событий в единицу времени будет равно:

.

Предел этого выражения при и называется интенсивностью потока.

,

.

Физический смысл – это среднее число событий, приходящихся на единицу времени для элементарного участка , примыкающего к моменту времени .

2. Отсутствие последействия.

Случайный поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух неперекрывающихся участков времени вероятность попадания любого числа событий на один из них не зависит от того, сколько их попало на другой. Т.е. для любого момента времени будущие моменты наступления событий не зависят от того, в какие моменты наступили события прошлого.

Поток случайных событий, удовлетворяющий рассмотренным свойствам (1 и 2), называется пуассоновским потоком.

3. Стационарность.

Поток случайных событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок длины зависит только од длины этого участка и не зависит от его местоположения на временной оси.

Из определения следует .

Случайный поток, удовлетворяющий всем 3-м свойствам, называется простейшим (или стационарным) пуассоновским.

Для него число событий, попадающих на интервал времени длиною , распределено по закону Пуассона.

Т.е. вероятность того, что случайная величина примет значение , распределена по закону:

Интервалы времени между соседними событиями имеют показательное распределение:

.

Важность пуассоновского потока на практике обусловлена тем, что композиция независимых ординарных стационарных потоков сходится к стационарному пуассоновскому.

Для рассматриваемого примера энергообеспечения это означает, что на систему, находящуюся в одном из возможных состояний, воздействуют одновременно несколько ординарных стационарных потоков и суммарный поток, воздействующий на систему, будет стационарным пуассоновским с интенсивностью .

Уравнения Колмогорова.

Найдем вероятность пребывания системы в одном из возможных состояний для любого произвольного момента времени . Предположим, что для любой пары состояний известны интенсивность потока , переводящего систему из состояния в состояние .

Вероятность такого перехода может быть рассчитана: .

Если непосредственный переход из состояния в состояние невозможен, то будем полагать . Также будем полагать .

Обозначим – вероятность того, что в момент времени система находилась в одном из возможных состояний .

Найдем вероятность пребывания системы в этом же состоянии для момента времени .

Обозначим это случайное событие .

Оно может быть представлено как .

– состоит в том, что система в момент времени находилась в состоянии и за время не вышла из этого состояния.

– состоит в том, что система находилась в одном из соседних состояний , из которых возможен непосредственный переход в состояние , и за время перешла из в .

Очевидно, что .

Событие означает, что в суммарном потоке событий, выводящем систему из состояния , не появится ни одного события.

Суммарный поток, воздействующий на систему, – пуассоновский (т.к. каждый из потоков – пуассоновский).

Интенсивность такого потока: .

Условная вероятность того, что на участке появится хотя бы одно событие, равна: .

Тогда условная вероятность того, что за время не появится ни одного события, равна: .

Т.о., вероятность события :

.

Рассмотрим событие .

Его можно представить как сумму несовместных событий , состоящих в том, что из этих состояний возможен непосредственный переход в .

Для вероятность: .

Тогда вероятность события :

.

Учитывая, что и – несовместные:

,

.

.

Устремляя , получим систему уравнений Колмогорова:

Первая часть суммы распространяется на те значения , для которых возможен непосредственный переход из состояния в состояние .

Сумма во второй части распространяется на те , для которых возможен непосредственный переход из состояния в состояние .

Полученная система решается при заданных начальных условиях:

Учитывая, что для любого момента времени:

По аналогии с цепями Маркова, будем называть потоком вероятности, переводящим систему из состояния в состояние , произведение .

Тогда уравнения Колмогорова можно составить по следующему мнемоническому правилу:

Производная вероятности любого состояния равна сумме потоков вероятностей, переводящих систему из состояния в состояние минус суммарный поток вероятностей, выводящий систему из состояния .

Для решения системы на практике часто используют операторный метод.

Пример.

В условиях рассматриваемой системы энергообеспечения считаем, что в системе протекает Марковский процесс с непрерывным временем и дискретными состояниями.

Изобразить размеченный граф состояний. Составить уравнения Колмогорова. Рассчитать вероятности пребывания системы в любом из возможных состояний для произвольного момента времени , используя операторный метод.

Уравнения Колмогорова в операторном виде будут иметь вид:

Система уравнений Колмогорова в операторной форме для системы:

,

, т.к. вначале оба генератора исправны. .

,

,

.

Решение полученной системы ищут с учетом нормировочного уравнения: .

После преобразований системы будем иметь:

.

Используя теорему разложения, по известному изображению можно найти оригинал.

.

Стационарный режим для Марковского процесса

с непрерывным временем и дискретными состояниями.

По аналогии с цепями Маркова, при выполнении определенных условий в системе устанавливается стационарный режим и вероятности не являются функциями времени, т.е. .

Вероятности называются финальными вероятностями Марковского процесса с непрерывным временем.

Условия возникновения стационарного процесса в системе следующие:

1) Множество всех состояний системы должно быть эргодическим.

2) Все потоки событий, воздействующие на систему, должны быть стационарными пуассоновскими.

Т.к. в установившемся режиме вероятности состояний не зависят от времени, то:

.

Тогда система уравнений Колмогорова будет иметь следующий вид:

.

Пример.

В предыдущем примере: в системе протекает Марковский процесс с непрерывным временем и выполнены условия стационарного режима (система с восстановлением).

Найти финальные вероятности и отказ системы.

: ,

: ,

: ,

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Таблица 1. Интенсивность внезапных отказов элементов при нормальных условиях эксплуатации.

№	Элемент
1.	Микросхемы	Биполярные Полевые (МОП) Гибридные (оптроны)	0.1 0.5
2.	Диоды	Выпрямительные кремниевые Стабилитроны Импульсные Светодиоды Фотодиоды	0.2 0.3 0.7 1 0.2
3.	Транзисторы	Малой мощности среднечастотные Малой мощности высокочастотные Средней и большой мощности ВЧ	0.3 1 1.2
4.	Резисторы	Постоянные Переменные	0.1–0.5 1
5.	Трансформаторы	Дроссели, катушки индуктивности	0.4
6.	Конденсаторы	Керамические Электролитические	0.3 1
7.	Соединители	Гнездо, вилка	0.1 на контакт
8.	Предохранители		0.3
9.	Пайка		0.01
10.	Коммутационные элементы	Тумблеры Кнопки Прочие	0.2 0.3 0.5
11.	Двигатели		1.6
12.	Редукторы		0.12
13.	Чувствительные элементы типа СКВТ		0.35

Величина интенсивности отказов существенно зависит от условий эксплуатации.

Таблица 2. При ухудшении условий эксплуатации величина умножается на коэффициент .

№	Условия эксплуатации	Значение k
1.	В лабораторных условиях	1
2.	В наземных стационарных установках	До 16
3.	На кораблях	До 28
4.	На автоприцепах	До 36
5.	На ж/д платформах	До 50
6.	На самолетах	До 120
7.	На управляемых снарядах	До 280
8.	На ракетах	До 700