Заключение по решению

Теснота корреляционной связи (ή=0,8) между рассматриваемыми факторами У (расход топлива) и Х (давление воздуха в баллонах автомобилей) является высокой. 64 % разброса в расходах топлива обусловливается давлением в баллонах. Остальные 36 % обусловливаются другими причинами, например, плохой регулировкой топливной аппаратуры, низкой квалификацией водителей и так далее.

Решение примера закончено.

Вопросы для самоконтроля

1.Сформулируйте понятие корреляционная зависимость между величинами.

2. Сформулируйте понятие линия регрессии и задачи регрессионного анализа.

3. Перечислите соотношения силы (тесноты) корреляционной связи и значение коэффициента корреляции (корреляционного отношения).

4. Сформулируйте понятие коэффициент детерминации.

5. Сформулируйте понятие дисперсия.

3. Модели линейного программирования в решениях задач управления транспортными процессами

3.1. Общая задача линейного программирования

Линейное программирование – это наиболее разработанный раздел математического программирования, с помощью которого выполняются анализ и решение экстремальных задач с линейными связями и ограничениями.

Линейное программирование включает в себя целый ряд эвристических (приближенных) методов решения, позволяющих при заданных условиях из всех возможных вариантов решений производственных задач выбрать наилучший, оптимальный. К этим методам относятся следующие – графический, симплексный, метод потенциалов (модифицированный распределительный метод – МОДИ), Хичкова, Креко, метод аппроксимации Фогеля и другие.

Часть этих методов объединяют общим названием - распределительный, или транспортный, метод.

Родиной линейного программирования является Россия. Первые работы по линейному программированию будущим академиком Л.В. Канторовичем были опубликованы в 1939 г. В 1975 г. за разработку методов линейного программирования им была получена Нобелевская премия по экономике. Поскольку большинство работ академика Л.В. Канторовича посвящено решению транспортных задач, можно считать, что указанная Нобелевская премия отмечает и заслуги российской транспортной науки.

На автомобильном транспорте методы линейного программирования используются с 1960-х годов для решения большого числа важнейших производственных задач, а именно: сокращение дальности перевозок грузов; составление оптимальной схемы перевозок; выбор кратчайших маршрутов движения; задачи перевозки разных, но взаимозаменяемых грузов; сменно-суточное планирование; планирование перевозок мелкопартионных грузов; распределение автобусов по маршрутам и другие.

Особенности модели линейного программирования заключаются в следующем:

- целевая функция и ограничения выражены линейными зависимостями (равенствами или неравенствами);

- число зависимостей всегда меньше числа неизвестных (условие неопределенности);

-неотрицательность искомых переменных. Общая форма записи модели линейного программирования в сокращенном виде выглядит следующим образом:

- найти х_ij ≥ 0 (j = 1, 2…n) при ограничениях следующего типа:

.

Эти ограничения минимизируют (или максимизируют) целевую функцию

min (max).

Стандартной формой записи модели линейного программирования является система линейных уравнений, записанная в канонической форме, т. е. в форме линейных равенств, в неотрицательных числах:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n = b₁ ;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n = b₂ ; (3.1)

……………………………..

a_mх₁ + а_m2х₂ + …+ а_mnх_n = b_m..

Если модель записана в форме неравенств в неотрицательных числах, т. е. имеет вид

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_1nх_n ≤ b₁ ;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + … + а_2nх_n ≤ b₂ ; (3.2)

……………………………..

a_mх₁ + а_m2х₂ + …+ а_mnх_n ≤ b_m,..

то эта запись приводится к канонической форме (3.1) путем введения дополнительных переменных х_n+1> 0 (i=1,2…m) в левую часть неравенства (или сокращения числа переменных, если знак неравенства направлен в другую сторону). Дополнительные переменные составляют базис.

Стандартной формой решения задачи линейного программирования является нахождение решений системы линейных уравнений в неотрицательных числах, которые минимизируют целевую функцию. Целевая функция при этом имеет вид

L = с₁ х₁ + с₂ х₂…с_n х_n → min, (3.3)

где с₁, с₂… с_n – коэффициенты целевой функции L при переменных х_j.

В целевую функцию дополнительные переменные входят с нулевыми коэффициентами.

В случае максимизации целевой функции L следует знаки при переменных целевой функции изменить на противоположные, и мы вновь придем к задаче минимизации, т.е. одна задача сводится к другой заменой L на –L или max L = min (–L).

Базисным решением системы линейных уравнений (3.1) называется решение, в котором небазисным переменным даны нулевые значения.

Допустимым называется такое базисное решение, в котором вошедшие в базис переменные являются неотрицательными.

Оптимальным называется допустимое решение, максимизирующее (или минимизирующее) целевую функцию (3.3).

Каждой задаче линейного программирования соответствует другая, называемая двойственной задачей линейного программирования. Исходная задача по отношению к двойственной называется прямой. Прямая и двойственная задачи образуют пару, называемую в линейном программировании двойственной парой. Прямая и двойственная пара образуют несимметричную пару, когда прямая задача записана в канонической форме, и симметричную пару, когда условия задач записаны неравенствами.

Правила составления математической модели двойственной задачи базируются на правилах матричного исчисления.

Понятие двойственности широко используется в анализе задач линейного программирования. Свойство двойственности детально рассматривается в каждом конкретном случае.