1. Роль математических методов в решении производственных задач автомобильного транспорта

0. 1.1. Представление процессов в автомобильно-дорожном комплексе как процессов в сложной системе

Транспортная система – это совокупность реальных объектов и связей между ними, которые используются на определенной территории для выполнения перевозок.

Автомобильно-дорожный комплекс России (АДК) включает в себя: автотранспортные предприятия и транспортные средства; автомобильные дороги и организации, поддерживающие их в рабочем состоянии; организации, обеспечивающие ремонт и техническое обслуживание автотранспортных средств; организацию и систему контроля транспортными потоками на дорожной сети; места стыковки автомобилей с другими видами транспорта.

АДК России имеет все признаки большой сложной, динамической системы, так как включает наличие большого числа взаимодействующих подсистем и элементов, имеет иерархический характер построения (подчиненности), множественность функций, наличие управления, взаимодействие с окружающей средой и воздействие случайных факторов, большую размерность задач.

По мощности осваиваемых пассажиро- и грузопотоков отдельные транспортные подсистемы АДК принято подразделять на 7 групп (систем).

1. Микросистемы (маятниковые маршруты с одним автомобилем и

обратным холостым пробегом).

2. Особо малые системы (кольцевые и маятниковые маршруты с одним автомобилем) различных типов с несколькими работающими транспортными средствами.

3. Малые системы – кольцевые и маятниковые маршруты различных типов с несколькими работающими транспортными средствами. Сюда относятся небольшие транспортные фирмы и транспортные отделы фирм малого бизнеса.

4. Средние системы – совокупность нескольких малых систем. Сюда относятся, например, железобетонные заводы, контейнерные станции, базы снабжения вместе с транспортными средствами и получателями товаров.

5. Большие системы – сюда относятся автомобильные парки и грузовые АТП с подвижным составом и их маршрутами.

6. Особо большие системы - автотранспортные тресты, производственные управления и объединения.

7. Суперсистема включает множество вышеуказанных систем, например Департамент автомобильного транспорта России.

Автомобильные и транспортные процессы в вышеуказанных системах включают большое количество задач по управлению АДК, разработке технологических схем организации перевозок, формированию систем оптимальных грузопотоков, маршрутизации перевозок, формированию сменно-суточных планов, выбору кратчайших путей движения, закреплению потребителей за поставщиками, транспортные задачи с запретами и по критерию времени и так далее.

0. 1.2. Понятие модели. Классификация моделирования систем. Эвристические методы решений задач

Для решений задач разрабатываются новые методики, базирующиеся на использовании новых технологий и методов расчета.

К таким новым технологиям относятся моделирование и использование моделей для решений задач управления и принятия решений. Во многих ситуациях они являются единственно возможным и эффективным методом, позволяющим получить ответ на поставленный вопрос.

Модель – это аналог, макет или иной вид отражения наиболее важных черт, свойств и результатов транспортных систем и процессов.

Адекватность модели – это свойство модели быть основой для прогнозирования событий, протекающих в транспортных системах и процессах, и давать подтверждаемые результаты.

Моделирование – это замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта–оригинала с помощью объекта– модели.

Теория моделирования – это теория замещения одних объектов– оригиналов другими объектами (моделями) и исследования свойств объектов на их моделях.

В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все виды моделирования могут быть разделены: на детерминированные и стохастические; статические и динамические; дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные.

Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий.

Стохастическое моделирование отражает вероятностные процессы и события. В этом случае анализируется ряд реализаций случайного процесса и оцениваются средние характеристики.

Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени.

Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, а непрерывное отражает непрерывные процессы в системах.

В зависимости от формы представления объекта (системы) можно выделить мысленное и наглядное моделирование.

При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте (механические, графические и другие).

При исследовании транспортных процессов и систем на автомобильном транспорте наиболее широко используется математическое моделирование, являющееся разделом мысленного моделирования.

Под математическим моделированием понимают установление соответствия данному реальному транспортному процессу или системе некоторого математического объекта, называемого математической моделью и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики рассматриваемого реального транспортного процесса и транспортной системы.

Любая математическая модель, как и всякая другая описывает реальную систему и процесс лишь с некоторой степенью приближения к действительности.

При решении практических задач автомобильно-дорожного комплекса, как правило, не применяются строгие методы решений. Широко используются смекалка и интуиция инженерно-технического и управленческого персонала.

В модели реальных транспортных процессов и систем вносятся упрощающие допущения. Такой метод позволяет подобрать для решаемой задачи из набора средств современной математики приемлемый алгоритм и найти хотя бы приближенное решение.

Такие методы решений задач в условиях, когда нельзя точно определить границы их применения и оценить допустимые погрешности, называются эвристическими.

Преимущества математического моделирования перед другими видами (графическим, аналоговым, механическим и т.д.) заключаются в широком использовании математических моделей, низкой стоимости их создания, быстром получении результатов исследований, возможности проведения расчетных экспериментов и проверки правильности построения модели.

Конечно, математическая модель всегда является упрощенной, однако она является достаточно наглядной и позволяет адекватно описать транспортную систему и транспортный процесс.

Математическое моделирование при решении задач АДК можно разделить на оптимизационное (аналитическое) и имитационное. Соответственно математические модели можно разделить на аналитические и имитационные.

0. 1.3. Аналитические модели

Составление аналитической модели является первым этапом процесса оптимизационного (аналитического) моделирования. К аналитическим моделям относятся математические модели, в которых поведение системы или течение процессов записаны в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегрально-дифференциальных, конечно-разностных и т.п.) или логических условий.

Аналитические модели применяются обычно в системах малой и средней сложности, а также для анализа отдельных подпроцессов в более сложных системах.

Аналитические модели, как и любые математические или табличные, являются количественными моделями принятия решений. Они задают связи между переменными решениями и параметрами и вычисляют показатель эффективности, а также результирующие переменные. Однако данные модели не могут точно дать ответ на поставленный вопрос, поскольку точно не определена цель. В оптимизационном моделировании необходимо максимизировать (минимизировать) некоторый показатель эффективности, зависящий от переменных решений, которые подчиняются ряду ограничений. Это достижение наилучшего из возможных результатов при наличии существующих ограничений является одним из наиболее активно развивающихся направлений исследований в науке управления.

Существуют несколько надстроек для программы Excel, предназначенных для оптимизации моделей при наличии ограничений.

Аналитическая модель в общем виде описывается уравнением (1.1), связывающим зависимую переменную величину у, называемую также параметром оптимизации, результативным признаком, или функцией отклика, с другими одной или несколькими независимыми меняющимися величинами x₁, x₂…x_n, называемыми также факториальными величинами, факторами, или аргументами.

у = f (x₁, x₂…x_n). (1.1)

При решении задачи оптимизации требуется найти значения факториальных величин x₁, x₂…x_n, которые позволяют достигнуть экстремального (минимального или максимального) значения параметра оптимизации (целевой функции F):

F = у = f (x₁, x₂…x_n )  min (max). (1.2)

Решение задачи оптимизации выполняется в условиях неопределенности эвристическим методом, так как число зависимостей всегда меньше числа неизвестных.

Пример 1.1. Построение аналитической модели процесса перевозки груза со складов к потребителям.

Имеются отправители груза (склада) А₁ А₂… А_i… А_m с имеющимся на каждом складе количеством груза а₁ а₂ …а_i…а_m…. Имеются получатели груза B₁ В₂ …В_j…В_n с требуемым каждому количеством груза b₁ b₂… b_j… b_n…. Каждый отправитель может удовлетворять запросы каждого получателя. Общие количества грузов, имеющихся у отправителей и требуемое получателям, равны. Расстояния между отправителями и получателями известны и составляют l i j. .

Условия задачи запишем в виде наглядной табл. 1.1.

Запишем количество m груза для доставки в пункт B_j из всех пунктов отправления:

x_ij  x_2j  … x_mj  ,

где: x_ij – количество m груза предназначенного к отправке из пункта А_i в пункт B_{j .}

Таблица 1.1