2. Уравнения плоскости в пространстве.

Простейшей поверхностью является плоскость. Плоскость в простран­стве можно задать разными способами. Каждому из них соответству­ет определенный вид ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Пусть в пространстве плоскость задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости. Выведем уравнение плоскости . Возьмем на ней произвольную точку и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости векторы и взаимно перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: , т. е.

. (3)

Координаты любой точки плоскости удовлетворяют уравнению (3), координаты точек, не лежащих на плоскости этому уравнению не удовлетворяют.

Уравнение (3) называется уравнением плоскости, проходя­щей через данную точку перпендикулярно вектору . Оно первой степени относительно текущих координат , и . Вектор называется нормальным вектором плоско­сти. Придавая коэффициентам , В и С уравнения (3) различные зна­чения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через точку . Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку, на­зывается связкой плоскостей, а уравнение (3) - уравнением связки плоскостей.

Общее уравнение плоскости.

Рассмотрим общее уравнение первой степени с тремя переменными , и :

. (4)

Полагая, что по крайней мере один из коэффициентов А, В или С не равен нулю, например , перепишем уравнение (4) в виде

. (5)

Сравнивая уравнение (5) с уравнением (3), видим, что уравне­ния (4) и (5) являются уравнением плоскости с нормальным векто­ром , проходящей через точку .

Итак, уравнение (4) определяет в системе координат некоторую плоскость. Уравнение (4) называется общим уравнением плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. Если , то оно принимает вид . Этому урав­нению удовлетворяет точка . Следовательно, в этом случае плос­кость проходит через начало координат.

2. Если , то имеем уравнение . Нормальный вектор перпендикулярен оси . Следовательно, плоскость параллельна оси ; если - параллельна оси , - парал­лельна оси .

3. Если , то плоскость проходит через параллельно оси , т. е. плоскость проходит через ось . Аналогично, уравнениям и отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси и .

4. Если , то уравнение (4) принимает вид , т. е. - плоскость параллельна плоскости . Аналогично, урав­нениям и отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям и .

5. Если , то уравнение (4) примет вид , т. е. . Это уравнение плоскости . Аналогично: - уравнение плоскости ; - уравнение плоскости .

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости , проходящей че­рез три данные точки , и , не ле­жащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости , следовательно, они компланарны. Используем условие компланарности трех векторов (их смешанное произведение равно нулю), получаем , то есть

(6)

Уравнение (6) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях , и , соответственно отрезки a, b и с, т. е. проходит через три точки , и .

Подставляя координаты этих точек в уравнение (6), получаем

Раскрыв определитель, имеем

. (7)

Уравнение (7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.