§ 2. Плоскость. Основные задачи.

Угол между плоскостями.

Рассмотрим две плоскости и , заданные соответственно уравнениями:

, .

П од углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей и равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то .

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости и параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или , , .

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а, следовательно, или . Таким образом, .

§ 3. Прямая в пространстве.

Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки и вектора , параллельного этой прямой.

В ектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку , лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек и M соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y, и z и точка M перемещается по прямой.

Канонические уравнения прямой.

П усть – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно, – канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических, исключив параметр t. Действительно, из параметрических уравнений получаем , , или .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox. Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox, следовательно, . Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде . Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz.

Общие уравнения прямой, как линии пересечения двух плоскостей.

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями , определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

От общих уравнений прямой можно перейти к её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов: .

Угол между прямыми.

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

, .

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , , то по формуле для косинуса угла между векторами получим

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторов и .

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, т.е. l₁ параллельна l₂ тогда и только тогда, когда .

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих коэффициентов равна нулю: .