§ 4. Прямая и плоскость в пространстве. Основные задачи.
Угол между прямой и плоскостью.
Углом
между прямой и плоскостью
будем называть угол, образованный прямой
и её проекцией на плоскость. Пусть прямая
и плоскость заданы уравнениями
,
.
Рассмотрим векторы
и
.
Если угол между ними острый, то он будет
,
где φ – угол между прямой и плоскостью.
Тогда
.
Если угол между
векторами
и
тупой, то он равен
.
Следовательно,
.
Поэтому в любом случае
.
Вспомнив формулу вычисления косинуса
угла между векторами, получим
.
Прямая и плоскость
перпендикулярны тогда и только тогда,
когда направляющий вектор прямой
и нормальный вектор
плоскости коллинеарны, т.е.
.
Прямая и плоскость
параллельны тогда и только тогда, когда
векторы
и
перпендикулярны, то есть
.
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости.
Пусть требуется найти точку пересечения прямой
(8)
с плоскостью
. (9)
Для этого надо решить систему уравнений (8) и (9). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (8) в параметрическом виде:
Подставляя
эти выражения для х,
у и
z
в
уравнение плоскости (9), получаем уравнение
или
. (10)
Если
прямая L
не
параллельна плоскости, т. е. если
,
то из равенства (10) находим значение t:
.
Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим
теперь случай, когда
:
а) если
,
то прямая L
параллельна
плоскости и пересекать ее не будет
(уравнение (10) решения не имеет);
б) если
,
то уравнение (10) имеет вид
;
ему удовлетворяет любое значение t,
любая
точка прямо является точкой пересечения
прямой и плоскости. Заключаем: прямая
лежит в плоскости. Таким образом,
одновременное выполнение равенств
является условием принадлежности прямой плоскости.
Расстояние от точки до плоскости.
Пусть задана точка
и
плоскость
задана своим уравнением
.
Расстояние d
от точки
до плоскости Q
найдём по формуле:
.