5.5. Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

,

где - некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения. Предварительно выясним вероятностный смысл параметров определив числовые характеристики распределения.

.

Введем новую переменную .

Отсюда , . Можно показать, что в этом случае пределы интегрирования остаются без изменения.

Получим

.

Первый интеграл полученной суммы известен как интеграл Пуассона, то есть

- интеграл Пуассона.

Можно показать, что второй интеграл равен 0. Тогда

.

Таким образом, параметр а нормального распределения равен математическому ожиданию случайной величины, то есть .

Для вычисления дисперсии нормального распределения воспользуемся формулой

.

Введем новую переменную , тогда , , пределы интегрирования также остаются без изменения.

Далее интегрируем по частям:

; ;

; .

Тогда

.

Здесь при вычислении предела использовалось правило Лопиталя.

Итак, , , то есть параметр нормального распределения равен среднему квадратическому отклонению данного распределения.

Таким образом, параметры нормального распределения совпадают с характеристиками данного распределения, а именно: , .

Для выяснения геометрической интерпретации параметров и исследуем график функции , который называют нормальной кривой, или кривой Гаусса.

Рассмотрим основные свойства функции .

Свойство 1. Функция определена и непрерывна на множестве всех действительных чисел.

Доказательство. Справедливость этого свойства вытекает из формулы . Действительно, функция является суперпозицией двух элементарных функций - показательной и квадратичной. Поэтому непрерывна на множестве всех действительных чисел. Следовательно, нормальная кривая есть линия непрерывная.

Свойство 2. Функция принимает только положительные значения, то есть . График функции расположен над осью абсцисс.

Свойство 3. Предел функции при неограниченном возрастании равен нулю, то есть .

Докажем справедливость этого свойства.

Таким образом, ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции, ветви нормальной кривой приближаются к оси ОХ, когда .

Свойство 4. График функции симметричен относительно прямой

Доказательство. Пусть и - произвольные значения случайной величины, которые расположены на оси ОХ симметрично относительно , где - произвольное число. Найдем и .

Сравнивая и , получаем, что

= = .

Свойство 5. Функция имеет максимум в точке

Доказательство. Найдем производную функции .

при , следовательно, - критическая точка.

При получим , так как и . Аналогично рассуждая, при получим . Значит, при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, при функция имеет максимум, при этом

.

Итак, при функция возрастает, а при - убывает.

Свойство 6. Нормальная кривая имеет две точки перегиба, абсциссы которых .

Доказательство. Найдем вторую производную функции .

, , , тогда . Отсюда , а .

Найдем знак второй производной слева и справа от каждой полученной точки. Выберем точки и , где - как угодно малая положительная величина.

Тогда

.

при любом х, , следовательно, .

Аналогично находим

.

При переходе через точку вторая производная функции сменила знак, следовательно, - абсцисса точки перегиба графика функции . Аналогично доказывается, что - также абсцисса точки перегиба.

Итак, график функции нормального распределения имеет две точки перегиба, абсциссы которых . Найдем значения функции в этих точках.

.

Используя результаты исследования функции , построим график плотности вероятности нормального распределения (рис. 17).

Рис. 17

Как видим, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Из рис. 17 видно, что вид нормальной кривой зависит от параметров и .

Проанализируем влияние изменений параметров и на вид нормальной кривой.

1. Пусть - величина постоянная, не изменяется, а параметр - величина переменная. Из рис. 18 видно, что в этом случае форма кривой не меняется, а изменяется только ее положение, причем с увеличением параметра нормальная кривая смещается вправо, с уменьшением - влево.

2. Пусть теперь параметр - величина постоянная, а изменяется. Положение нормальной кривой не меняется, а изменяется ее форма: с увеличением максимальное значение функции убывает, а с уменьшением, наоборот, возрастает. Таким образом, при увеличении нормальная кривая приближается к оси ОХ и растягивается вдоль нее, распределение вероятностей становится более равномерным. С уменьшением же кривая становится иглообразной, она стягивается к прямой (рис. 19).

Рис. 18

Рис. 19

3. С изменением параметров и изменяются и форма, и положение нормальной кривой.

4. Как бы ни изменялись параметры и , площадь фигуры под кривой распределения всегда постоянна и равна единице.