5.5.3. Интегральная функция нормального распределения

Найдем интегральную функцию нормального распределения:

.

Разобьем интеграл на два интеграла, получим

Первое слагаемое численно совпадает с половиной площади криволинейной трапеции, ограниченной нормальной кривой (см. рис. 17), а во втором слагаемом произведем замену переменной: , , , , новые пределы интегрирования будут 0 и .

Тогда получим .

Итак, .

Для нормированной нормально распределенной случайной величины .

График интегральной функции распределения представлен на рис. 23.

Рис. 23

5.5.4. Вычисление вероятностей

для нормально распределенной случайной

величины. Правило трех сигм.

Устойчивость нормального закона

Дана случайная величина Х, имеющая нормальное распределение с параметрами и . Найдем вероятность того, что случайная величина принимает какое-то значение из интервала . Для этого воспользуемся формулой

.

Используя интегральную функцию нормально распределенной случайной величины, получим

.

Данная формула упрощается, если границы допустимых значений случайной величины симметричны относительно математического ожидания, то есть . Тогда

Итак, вероятность попадания случайной величины в симметричный интервал , а вероятность отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания по абсолютной величине не более чем на :

.

Вычислим вероятность отклонения значений нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания по абсолютной величине не более чем на , то есть .

Воспользуемся формулой , в которой положим .

Получим

Заметим, что полученная вероятность близка к единице. Тогда событие , или , является практически достоверным, то есть при единичном испытании оно практически всегда наступает. Это свойство нормально распределенных случайных величин называют "правилом трех сигм". Суть его заключается в следующем: практически достоверно, что при единичном испытании нормально распределенная случайная величина принимает значения, отличающиеся от ее математического ожидания не более чем на 3 .

Примечание. Можно показать, что нормальный закон распределения обладает свойством устойчивости, то есть сумма двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет нормальное распределение, также распределена по нормальному закону.

Пример 36. Жирность молока в одном из хозяйств области есть нормально распределенная случайная величина со средним значением, равным 3,8 %, и средним квадратическим отклонением, равным 0, 15 %. Записать интегральную и дифференциальную функции данного распределения, а также вычислить вероятность того, что в наудачу взятой пробе жирность молока будет от 3 до 4%.

Решение. Случайная величина Х - жирность молока - имеет нормальный закон распределения с параметрами и . Тогда

- плотность распределения вероятности случайной величины (дифференциальная функция).

- интегральная функция распределения. Воспользуемся формулой:

.

Пример 37. Диаметр гайки задан полем допуска 80 - 85 мм. В некоторой партии гаек средний размер оказался равным 82,6 мм, а среднее квадратическое отклонение 1,2 мм. Считая, что размер диаметра гайки подчиняется закону нормального распределения, вычислить вероятность брака по размеру гайки.

Решение. Случайная величина Х - диаметр гайки - имеет нормальный закон распределения с параметрами мм, мм. Обозначим событие А - гайка годная, то есть гайка, размер которой попадает в поле допуска. Тогда событие - гайка бракованная.

.

Отсюда . Таким образом, при указанных условиях брак составит 3,78 %.

Пример 38. Длина изготавливаемой детали представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону. Средняя длина детали равна 50 мм, а дисперсия 0,25 мм². Какое поле допуска длины изготавливаемой детали можно гарантировать с вероятностью 0,99?

Решение. Длина изготавливаемой детали - случайная величина Х, имеющая нормальный закон распределения с параметрами мм, . Известна вероятность, гарантирующая некоторое поле допуска, то есть . Чтобы найти это поле допуска, воспользуемся формулой

.

Неравенство эквивалентно неравенству , следовательно, и равновероятно, то есть .

Исходя из условия задачи, можно записать

А поэтому

По таблице значений функции Лапласа находим, что Отсюда , тогда или