1.1). Унимодальна ли функция на отрезке [1,2]
Всякая
выпуклая на [a;b]
функция является унимодальной на этом
отрезке. Исследуем данную функцию на
выпуклость
По
второму дифференциальному условию
выпуклости функции неотрицательность
f’’(x)
на[a;b] <=> выпуклости f(x)
на [a;b]. Значит исходная функция выпукла
на [1;2] => унимодальна
на [1;2]
1.2). Решить классическим методом минимизации на отрезке [-4,4]
1)Найдем
стационарные точки (необходиомое условие
минимума)
2)Вычислим функцию в стационарный точках и на концах отрзезка: f(-4)=-64+(80+28)+5=49; f(-3)=-27+81+5=59; f(3)2-81+5=-54+5=49; f(4)=64-108+5=-39;
Ответ: х*=3; f*=-49.
1.3). Найти безусловные экстремумы функции на e2.
1.
Проверим необходимое условие экстремума
:
2.
Проверим достаточное условие экстремума
-
и H(x*)>0
(H(x*)<0)
– минимум (максимум):
-
точка минимума,
достаточное
условие не выполняется.
3.
Для точки
проверим необходимое условие экстремума
2го порядка:
,
главные миноры 1го порядка -6 и 6; главный
минор 2го порядка -36 – необходимое
условие 2го порядка не выполняется – в
точке
экстремума нет.
1.4).=5). Показать, что квадратичная функция
сильно выпукла.
Все
угловые миноры >0
по критерию Сильвестра матрица А
положительно определена
по свойству квадратичной функции с
положительно определенной матрицей A,
данная функция сильно выпукла
1.6)Функция f(x1,x2)=x1-2x2. Ответ: x*=(1;1)T, f*=-1.
Задачи вариант 2
2.1). Унимодальна ли функция на отрезке [0,π/4]
Всякая
выпуклая на [a;b]
функция является унимодальной на этом
отрезке. Исследуем данную функцию на
выпуклость
По
второму дифференциальному условию
выпуклости функции неотрицательность
f’’(x)
на[a;b] <=> выпуклости f(x)
на [a;b]. Значит исходная функция выпукла
на [0,π/4] => унимодальна
на [0,π/4]
2.2). Решить классическим методом минимизации на отрезке [1/2,3/2]
1)Найдем
стационарные точки(необходиомое условие
минимума)
На (1;3/2) корня быть не может, т.к. exp(x-1)>1,
a
cos2πx<1.
Отезок [1/2,1]
-загадка
2)Вычислим функцию в стационарной точке и на концах отрзезка: f(1/2)= -2πexp(-1/2); f(1)=-2π; f(3/2)= -2πexp(1/2); Ответ: х*=3/2; f*=-2πexp(1/2).
2.4).=6).
Показать, что квадратичная функция
сильно выпукла.
Все угловые миноры >0 по критерию Сильвестра матрица А положительно определена по свойству квадратичной функции с положительно определенной матрицей A, данная функция сильно выпукла.
2.6)Функция f(x1,x2)=-x1-3x2. Ответ: x*=(2/3;2/3)T, f*=-8/3.
Задачи вариант 3
3.1). Унимодальна ли функция на отрезке [0,1]
Всякая
выпуклая на [a;b]
функция является унимодальной на этом
отрезке. Исследуем данную функцию на
выпуклость
По
второму дифференциальному условию
выпуклости функции неотрицательность
f’’(x)
на[a;b] <=> выпуклости f(x)
на [a;b]. Значит исходная функция выпукла
на [0,1] => унимодальна
на [0,1]
3.2). Решить классическим методом минимизации на отрезке [π/3, 2π/3]
1)Найдем
стационарные точки (необходиомое условие
минимума)
2)Вычислим
функцию в стационарной точке и на концах
отрзезка:
Ответ: х*= π⁄2; f*=-√2
3.3).
Найти безусловный экстремум функции
на E2.
1. Проверим
необходимое условие экстремума
:
2.
Проверим достаточное условие экстремума
-
и H(x*)>0
(H(x*)<0)
– минимум (максимум):
достаточное условие не выполняется.
- точка минимума,
3.
Для точки
проверим необходимое условие экстремума
2го порядка:
,
главные миноры 1го порядка 0 и 0; главный
минор 2го порядка -9 – необходимое условие
2го порядка не выполняется – в точке
экстремума нет.
3.4).=7).
Показать, что квадратичная функция
сильно выпукла.
Все угловые миноры
>0
по критерию Сильвестра матрица А
положительно определена
по свойству квадратичной функции с
положительно определенной матрицей A,
данная функция сильно выпукла.
3.6)Функция f(x1,x2)=-2x1-x2. Ответ: нет решений
Задачи вариант 4