5.4). Показать, что квадратичная функция сильно выпукла.

Все угловые миноры >0 по критерию Сильвестра матрица А положительно определена по свойству квадратичной функции с положительно определенной матрицей A, данная функция сильно выпукла.

5.6)Функция f(x1,x2)=x1-2x2. Ответ: x*=(1;1)^T, f*=-1.

Задачи вариант 6

6.1). Найти максимальное b, при котором f(X) унимодальна.

Всякая выпуклая на [a;b] функция является унимодальной на этом отрезке. Исследуем f(x) на выпуклость По второму дифференциальному условию выпуклости функции неотрицательность f’’(x) на[a;b] <=> выпуклости f(x) на [a;b]. Значит исходная функция не выпукла на R, однако она может быть унимодальной. Построим график – парабола ветвями вниз, пересечение с осью OX: х=2;x=3;Вершина: х=2,5. По определению f(x) унимодальна на отрезке [-5;2,5] (a =α =β)

Опр Функция f(x) наз-ся унимодальной на [a;b], если она непрерывна на [a;b] и есть a ≤ α ≤ β ≤ b такие что: 1)если a < α, то на [a;α] ф-я f(x) мотонно убывает; 2)если β < b, то на [β;b] ф-я f(x) мотонно возрастает

3)при х∈[0;π/4] f(x)=f*=minf(x) на [a;b] (Возможны вырождения одного, двух отрезков [a,α], [α,β], [β,b] в точку)

6.2). Найти минимальную константу Липшица . A). X∈[0;1] б). X∈[0;10].

– парабола

Минимальная L = max|f’(x)|

a). x∈[0;1]: от -2 до 1 f’(x)<0 и возрастает => L = max|f’(x)|=f’(0)=15;

б). x∈[0;10]: L = max|f’(x)|=|f’(10)|=3(100+4*10-5)=3*135=405.

6.3). Найти безусловный экстремум функции на E₂. 1. Проверим необходимое условие экстремума : - одна стационарная точка

2. Проверим достаточное условие экстремума - и H(x*)>0 (H(x*)<0) – минимум (максимум): достаточное условие не выполняется.

- точка минимума,

6.4). Показать, что квадратичная функция сильно выпукла.

Все угловые миноры >0 по критерию Сильвестра матрица А положительно определена по свойству квадратичной функции с положительно определенной матрицей A, данная функция сильно выпукла.

6.6)Функция f(x1,x2)=-x1-3x2. Ответ: x*=(2/3;2/3)^T, f*=-8/3.

Задачи вариант 7

7.1). Унимодальна ли функция на отрезке [1,2] и a>3

Всякая выпуклая на [a;b] функция является унимодальной на этом отрезке. Исследуем f(x) на выпуклость По второму дифференциальному условию выпуклости функции неотрицательность f’’(x) на[a;b] <=> выпуклости f(x) на [a;b]. Значит исходная функция выпукла на [1,2] => унимодальна на [1,2]

7.2). Решить классическим методом минимизации на отрезке [-4,4]

1)Найдем стационарные точки (необходиомое условие минимума)

2)Вычислим функцию в стационарный точках и на концах отрзезка: f(-4)=-64+(80+28)+5=49; f(-3)=-27+81+5=59; f(3)2-81+5=-54+5=49; f(4)=64-108+5=-39;

Ответ: х*=3; f*=-49.

7.3). Показать, что квадратичная функция сильно выпукла.

Все угловые миноры >0 по критерию Сильвестра матрица А положительно определена по свойству квадратичной функции с положительно определенной матрицей A, данная функция сильно выпукла.

7.4). Найти безусловные экстремумы функции на E₂.

1. Проверим необходимое условие экстремума : - одна стационарная точка

2. Проверим достаточное условие экстремума - и H(x*)>0 (H(x*)<0) – минимум (максимум): согласно критерию Сильвестра H(x*)>0 - достаточное условие выполняется и - точка минимума, f*=0+0+9-0-18=-9.

7.6)Функция f(x1,x2)=-2x1-x2. Ответ: нет решений

Задачи вариант 8

8.1).Доказать, что из выпуклости f(x) на [a;b] следует ее унимодальность на [a;b], если ограничиться дифференцируемыми на [a;b] ф-ями.

Пусть f(x) выпукла на [a;b] f’(x) не убывает на [a;b]; Допустим f(x) неунимодальна на [a;b], тогда есть на [a;b] такие х1<х2<x3,что f(x1)<f(x2) и f(x3)<f(x2). Тогда Получили, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции f’(x3)<0<f’(x1), т.е. f’(x) убывает=> f(x) не выпукла. Пришли к противоречию, значит наше допущение неверно и f(x) унимодальна.

8.2). На каких отрезках вещественной оси функция является выпуклой?

По 2му дифференциальному критерию выпуклости функция выпукла, если f”(x)≥0;

при x∈(-∞;-4]U[0;+ ∞). Функция выпукла на отрезках [a;-4] и [0;b], где a∈(-∞;-4) и b∈(0;+ ∞).

8.3). Найти безусловный экстремум функции на E₂. 1. Проверим необходимое условие экстремума : - одна стационарная точка

2. Проверим достаточное условие экстремума - и H(x*)>0 (H(x*)<0) – минимум (максимум): согласно критерию Сильвестра H(x*)>0 - достаточное условие выполняется и - точка минимума, f*=0.