4.1). Привести примеры функций f(X), унимодальных на отрезке [a;b], но не выпуклых на нем
Опр. Функция f(x) наз-ся унимодальной на [a;b], если она непрерывна на [a;b] и есть a ≤ α ≤ β ≤ b такие что: 1)если a < α, то на [a;α] ф-я f(x) мотонно убывает; 2)если β < b, то на [β;b] ф-я f(x) мотонно возрастает
3)при х∈[0;π/4] f(x)=f*=minf(x) на [a;b] (Возможны вырождения одного, двух отрезков [a,α], [α,β], [β,b] в точку)
Пример1:
Исследуем
данную функцию на выпуклость
По
второму дифференциальному условию
выпуклости функции неотрицательность
f’’(x)
на[a;b] <=> выпуклости f(x)
на [a;b]. Получается, что ф-я не
выпукла, но унимодальна на [-2,2] (по
определению a =α =β).
Пример2:
Исследуем
данную функцию на выпуклость
Аналогично
примеру1 получается, что ф-я унимодальна
на
по
определению, но не выпукла.
Пример3:
.
Исследуем
ее на выпуклость:
Аналогично
примерам1и2 получается, что ф-я унимодальна
на [-3;3] по определению, но не выпукла.
4.2). Показать, что для дифференцируемых на [a;b] ф-ций f(x) величина L=max|f’(x)| на [a;b] является минимальной константой Липшица для f(x) на [a;b].
Допустим это не так, тогда есть L1<L такая, что |f(x1)-f(x2)| ≤ L1|x1-x2| ∀x∈[a;b], тогда (|f(x1)-f(x2)| /|x1-x2|) ≤ L1. Перейдя к пределу x1->x2 получим |f’(x2)| ≤ L1. Т.к. х1и х2 произвольны, то |f’(x)| ≤ L1=>max|f’(x)| ≤ L1<L= max|f’(x)|. Пришли противоречию,значи допущение не верно и не существует L1<L. Чтд
4.3).
Найти безусловный экстремум функции
на E2.
1. Проверим
необходимое условие экстремума
:
-
одна стационарная точка
2.
Проверим достаточное условие экстремума
-
и H(x*)>0
(H(x*)<0)
– минимум (максимум):
достаточное условие не выполняется.
3. Проверим необходимое условие экстремума 2го порядка:
,
главные миноры 1го порядка 2 и 0 ≥ 0;
главный минор 2го порядка 0 ≥ 0 –
необходимое условие 2го порядка
выполняется – в точке
может быть точка минимума.
4.
Дополнительные исследования: f(x*)=0
Рассмотрим f(x)
на некоторой ε-окрестности точки
:
x*
- точка минимума и f*=0.
4.4).=8).
При каких a,b,c
квадратичная функция
будет сильно выпукла?
функция сильно
выпукла
матрица А положительно определена
все угловые миноры >0 -
.
4.6)Функция f(x1,x2)=-x1-x2. Ответ: Ответ: x*=(α;1- α)T, α∈[0,1], f*=-1.
Задачи вариант 5
5.1). Разбить отрезок [-1;2] на 3 части так, чтобы f(x) =||(x(x-1)|-1| была унимодальна ли функция
Преобразуем функцию и последовательно построим
Ответ[-1;0],[0;1],[1;2]
5.2). Найти минимальную константу Липшица . A). X∈[0;2] б). X∈[2;3].
–
парабола
Минимальная L = max|f’(x)|
a). x∈[0;2]: от -∞ до 2 f’(x)>0 и убывает => L = max|f’(x)|=f’(0)=72;
б). x∈[2;3]: max|f’(x)|=|f’(2,5)|=12(6,25-5*2,5+6)=12*0,25=3.
5.3).
Найти безусловный экстремум функции
на E2.
1.
Проверим необходимое условие экстремума
:
-
одна стационарная точка
2.
Проверим достаточное условие экстремума
-
и H(x*)>0
(H(x*)<0)
– минимум (максимум):
достаточное условие не выполняется.
3. Проверим необходимое условие экстремума 2го порядка:
,
главные миноры 1го порядка 2>0 и -2<0;
главный минор 2го порядка -4 < 0 –
необходимое условие 2го порядка не
выполняется – в точке
экстремума нет.