§12. Дифференциал функции

Пусть дифференцируема в точке x. По определению производной . По теореме о связи предела с бесконечно малой , где при . Умножим обе части на ∆x:

(1), где ∆x → 0, , .

Сравним эти бесконечно малые:

1. 

Если , то и ∆x – б.м. одного порядка

2. – б.м. более высокого порядка малости, чем ∆x.

Итак, приращение функции ∆y состоит из 2^x слагаемых: первое есть главная часть приращения функции, линейная относительно ∆x; а второе слагаемое – бесконечно малая более высокого порядка малости, чем ∆x.

Определение. Дифференциалом функции в точке x называется произведение производной в этой точке на приращение аргумента ∆x.

(2)

Найдем дифференциал функции . Т.к. , то , то есть . (3)

Дифференциал dx независимого переменного x совпадает с приращением ∆x.

Формула (2) с учетом (3) примет вид: (4) – дифференциал функции.

Значит – (обозначение Лейбница).

Производную функции можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной.

§13. Геометрический смысл дифференциала.

К графику функции в точке M(x,y) проведем касательную.

α – угол наклона касательной к оси Ox.

Дадим x приращение ∆x, тогда функция получит приращение ∆y. На кривой получим точку M₁(x+∆x,y+∆y), KT – приращение ординаты касательной.

∆MKT. KT= |

MK=∆x|

|

Геометрически .

Дифференциал функции в т. x равен приращению ординаты касательной при переходе из точки с абсциссой x в точку с абсциссой x+∆x.

§14. Инвариантность формы дифференциала (независимость формы записи дифференциала).

1. Пусть , x – независимая переменная

(1)

2. Пусть , x=x(t) – функция от t.

– сложная функция, x – промежуточный аргумент.

(по правилу дифференцирования сложной функции)

(т.к. ), итак (2)

В формулах (1) и (2) форма записи дифференциала одинакова. Свойство дифференциала иметь одну и ту же форму записи независимо от того является ли x независимой переменной или функцией другой переменной называют инвариантностью формы дифференциала.

§15. Применение дифференциала к приближенным вычислениям значений функции.

Ранее была формула (в §12): , где при ∆x → 0 и .

, тогда .

Приращение функции отличается от дифференциала функции на б.м. величину более высокого порядка малости, чем ∆x.

Поэтому .

Отсюда .

Пример. Вычислить

Замечание.

§16. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция дифференцируема в некотором промежутке X. Производная является функцией от x. Пусть эта функция также имеет производную.

Определение. Производная от первой производной называется производной второго порядка или второй производной функции .

Обозначаются: или

Определение. Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и обозначается или .

В общем случае: производной n-го порядка функции называется производная от производной (n-1)-го порядка и обозначается или

или .

Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка.

Пример. y=ln x; Найти y^IV и y⁽ⁿ⁾

Пусть функция дифференцируема на промежутке X.

Определение. Дифференциалом второго порядка или вторым дифференциалом называется дифференциал от дифференциала функции:

Найдем выражение второго дифференциала функции :

Определение. Дифференциалом третьего порядка или третьим дифференциалом функции называется дифференциал от её второго дифференциала:

Выражение третьего дифференциала:

Определение. Дифференциалом n-го порядка или n-ым дифференциалом функции называется дифференциал от её (n-1)-го дифференциала:

Справедлива формула: . Тогда производные можно представить:

, , , …,

Пример: Найти дифференциалы первого, второго, третьего порядков функции .

Решение: