§17. Механический смысл второй производной

Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону S=S(t), где S-путь, пройденный точкой за t. Тогда скорость v=v(t) –функция от t.

– среднее ускорение.

Найдем a – ускорение в момент времени t.

Поскольку , то или

Ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути по времени.

§18. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема Ферма. Пусть функция определена в некотором промежутке Х и во внутренней точке х₀ этого промежутка принимает свое наибольшее (или наименьшее) значение. Если в точке х₀ существует конечная производная, то она равна нулю, то есть .

Доказательство:

Геометрический смысл теоремы Ферма.

, где – угол наклона касательной. , то есть в точке с абсциссой х₀, где функция имеет наибольшее (наименьшее) значение, касательная к графику функции параллельна оси Ох.

Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах отрезка принимает равные значения . Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка х₀, что .

Доказательство:

Функция – непрерывна на она достигает на этом отрезке своего наибольшего М и наименьшего m значений (вторая теорема Вейерштрасса).

Рассмотрим два случая:

1. M=m (наибольшее и наименьшее значения совпадают).

Тогда на функция сохраняет постоянное значение, то есть f(x)=c=M=m . В качестве х₀ можно взять любую точку .

2. (M>m)

Хотя бы одно из значений M или m достигается внутри отрезка (если оба на концах, то поскольку получим M=m, то есть первый случай). По теореме Ферма в этой внутренней точке х₀ . Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля.

На кривой (для функции, удовлетворяющей теореме Ролля) найдется точка, в которой касательная параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка. Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка х₀, что будет выполняться равенство , где .

Доказательство:

– формула Лагранжа

Или , где

Обозначим: a=x, b=x+ . Тогда .

Формулу Лагранжа называют формулой конечных разностей.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на дуге АВ найдется хотя бы одна точка С, в которой касательная параллельна хорде.

Замечание. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа (если положить ).

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем . Тогда внутри отрезка найдется такая точка х₀, что .

Доказательство:

Знаменатель . В противном случае, если , то есть , то по теореме Ролля : , что противоречит условию теоремы Коши.

Введем вспомогательную функцию .

1. непрерывна на (как разность непрерывных функций);

2. имеет конечную производную в интервале (a;b), а именно ;

3. Найдем значения на концах отрезка :

То есть . Таким образом, удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Тогда внутри найдется такая точка х₀, что . (делим на ) , что и требовалось доказать.

– формула Коши.

Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши (если положить ).

Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, применив теорему Лагранжа к числителю и знаменателю, так как получим или , где (вообще говоря).