§19. Правило Лопиталя

Рассмотрим новое правило раскрытия неопределенностей и .

Теорема 1. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀, причем в этой окрестности . Пусть . Тогда, если существует , то существует и , причем (1).

Без доказательства.

Теорема 2. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки х₀, за исключением, быть может, самой точки х₀, причем в этой окрестности . Пусть и . Тогда, если существует , то существует и , причем (2).

Без доказательства.

Смысл правила Лопиталя: вычисление предела отношения функций в случае неопределенностей или может быть сведено к вычислению предела отношений производных (который бывает проще).

Замечание1. Если (или ) и , удовлетворяют условиям теоремы 1 (или теоремы 2), то правило Лопиталя применяют еще раз

и т.д.

Замечание2. Теоремы 1 и 2 справедливы и при .

Примеры:

1. ,

Другая форма записи (при условии существования ):

2. 

3. 

4. 

5. Формулы (1) и (2) справедливы, если ! Может оказаться, что существует, а не существует.

Найти

- не существует.

§20. Дифференцирование функций, заданных параметрически

1. Параметрическое задание функций.

Пусть , – две функции одной независимой переменной . Если – монотонна на Т, то существует обратная к ней . Тогда получим – сложную функцию y от x. В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически и пишут , , t – параметр.

Параметрическое задание часто применяют при описании траектории движения точки на плоскости, где координаты х и у – функции времени t. Иногда от параметрического задания функции можно перейти к явному, исключив параметр t. Всегда функцию, заданную явно можно задать параметрически:

, .

2. Параметрическое задание некоторых линий на плоскости.

, . Каждому значению соответствует определенное значение х и определенное значение у соответствует точка М(х,у). Когда t пробегает все значения из Т, точка М(х,у) описывает некоторую линию на плоскости Оху.

Рассмотрим параметрическое задание некоторых линий

1. Прямая

,

2. Окружность с центром О(0;0) и радиусом а.

, ,

параметр t – угол между положительным направлением оси Ох и , М(х,у) принадлежит окружности.

3. Эллипс

,

4. Парабола

,

3. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть функция у от х задана параметрически , .

Пусть функции х(t), y(t) – дифференцируемы для любого и . Пусть для существует обратная функция , имеющая производную. Тогда для также существует производная.

Эта формула позволяет находить производную от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости у от х.

Пример.

, . Найти а) при любом t, б) при .

§21. Дифференцирование неявных функций.

Пусть уравнение задает у как неявную функцию от х. Пусть функция у дифференцируема.

Дифференцируя обе части уравнения по х, считая что у есть функция от х, получим новое уравнение, содержащее х, у, . Разрешив его относительно , найдем производную.

Пример.

1. 

Решение

2. 

Замечание. Всякую неявную функцию, заданную уравнением, составленным из элементарных функций, можно продифференцировать независимо от того, можно ли эту функцию представить в явном виде или нет.

Производная выражается через х и у, то есть .

Для нахождения при нужно знать и .