2.2. Перетворення зірки резисторів

НА ЕКВІВАЛЕНТНИЙ ТРИКУТНИК І НАВПАКИ

ренні^Дч™^ЗР_Кп ^СЛЄКТЄ^И™^1Х ™ «ОДІ виникає потреба у перетво­ри" еГек« зТГ° ^тЙа^меневою зіркою, на еквівалентне

_{в^є'нтХТкіл™; ь~;Го7„™гм> пнавпаки-При цьому ЄКВІ~}

_{-ходнойменнихзатискач "ІЇЇЇЇ^™^^^^™™**-}

рень, однакові. Це рівнозначнітому ще™™₀сгі я* п-Т

цих колах, однакові. потужності, які витрачаються у

Для окремого випадку трипроменевоїзірки (рис. 2.2) опори еквівалент­ного трикутника становлять:

_{Яр = А + Л, + А^..}

- я₃ '

Я_Ц=Я^+Я +

¹ Я

Відповідні до них електричні провідності:

¹²~(?і+(?₂ + (?з' ²³ С_і+(7₂+6у ³¹ С?!+С?₂+(?з" Зворотні перетворення трикутника резисторів на трипроменеву зірку дають:

, ^ ^23 . _Л , ^23^31

¹ Я₁₂+Я₂₃ + Я₃₁' ² Л^ + Лзз + Лл' ³ Щ₂ ^{+ К}23 ^{+ К}з\

2.3. ПЕРЕТВОРЕННЯ СХЕМ ЗДЖЕРЕЛАМИ НАПРУГИ

Метод перетворень використовують і в багатоконтурних електричних колах з джерелами напруги, з'єднаними паралельно. Як приклад таке коло наведено на рис. 2.3.

Еквівалентність спрощеного кола встановлюють відносно загального багатоконтурного кола, яке не наведено на рисунку. Рівняння, які вста­новлюють перетворення, мають вигляд

^п Е- і " 1 / ^п 1

~ Х~гГ> ^"7 ^У"

Якщо будь-яка електрорушійна сила £} має зворотний напрямок щодо напрямку еквівалентної електрорушійної сили Е_с, то її складову £"///?,-беруть з від'ємним знаком.

2.4. ЗАМША ДЖЕРЕЛА НАПРУГИ ДЖЕРЕЛОМ СТРУМУ

Два неоднорідних джерела живлення — джерело напруги і джерело стру­му —- вважають еквівалентними, якщо в разі заміни одного джерела іншим струми і напруги у зовнішньому електричному колі, з яким джерела з'єднані, залишаються незмінними.

Е квівалентні джерела напруги і струму, які посилають у зовнішнє коло струм }_у та підтримують на своїх затискачах однакову напругу II, зобра­жено на рис. 2.4.

За другим правилом Кірхгофа напруга на затискачах джерела напруги становить и^е-^Яц. Відповідно напругу на затискачах джерела струму можна визначити як V ^{І-І_Х)Щ. Якщо опори резисторів навантажен­ня в обох схемах однакові, то отримаємо однакову напругу в зовнішньому колі навантаження, тобто справедливим буде співвідношення

я-/ідь=(/-/₁)іїь.

Після спрощення рівняння умова еквівалентності джерел живлення обох видів — напруги та струму — набирає вигляду

Е = Щ.

Слід пам'ятати, що втрати потужності на внутрішньому опорі еквіва­лентних джерел напруги і струму неоднакові. Втрати потужності у дже­релі напруги становлять /\Р_и = ї² Я$, у джерелі струму АР_С^(]~І_] )² Я^. З виразів видно, що у разі, якщо навантаження джерел немає, тобто Я = оо, то зовнішній струм І_х = 0 і втрат потужності у джерелі напруги немає (АР_Н = 0), а втрати потужності у джерелі струму є і становлять АР_С = [²Я₀. Тому еквівалентність джерел встановлюють лише за незмінністю значень струму, напруги і потужності відносно зовнішнього електричного кола, приєднаного до джерела живлення.

розділ 1 методи розрахунку мшоннвшшшт и лінійних електричних

кіл постійного струму

3.1. КЛАСИЧНИЙ МЕТОД

Якщо складне електричне коло маєр гілок та к вузлів, то під дією ЕРС джерел живлення в гілках встановлюютьсяр значень струмів, які потребу­ють визначення при відомих значеннях опорів гілок.

Класичним методом розрахунку струмів у гілках вважають застосуван­ня обох правил Кірхгофа. Для записування рівнянь електричного кола з використанням правил Кірхгофа необхідно:

• по-перше, задопомогою топологічного аналізу електричного кола ви­значити загальну кількість вузлів к та незалежних найпростіших кон­турів у кількості, яка має дорівнювати т = р-(к~\);

• по-друге, задати напрямки струмів в усіх гілках кола, тобто р їх зна­чень, та обрати напрямки обходу кожного незалежного контуру.

З аписуючи систему рівнянь для елек­тричного кола, слід дотримуватися таких правил:

• ЕРС, напрямокдіїякихне збігається з обраним напрямком обходу незалеж­ного контуру, обирають із знаком «мі­нус», і навпаки;

• падіння напруги на пасивних елемен­тах незалежного контуру, струм в яких не збігається з обраним напрямком об­ходу контуру, обирають із знаком «мі­нус», і навпаки;

• струми гілок, приєднаних до спільного вузла, обирають з від'ємним знаком, якщо вони витікають із вузла, і навпаки.

Отримані на підставі правил Кірхгофа рівняння в кількості т + (к~\) утворюють систему, розв'язання якої дає змогу отримати шукані значен­ня струмів у гілках кола. Якщо знак при струмі, отриманий під час розв'я­зання, від'ємний, то дійсний напрямок струму у гілці протилежний обра­ному на початку його визначення.

Для розгалуженого електричного кола (рис. 3.1) система рівнянь, скла­дених на підставі класичного методу, має вигляд

І _х + і ₂ - /3 =0;

І₂Я_{2 +} І₃Я₃ = Е₂ + Е₃.

Обчислені значення струмів використовують для визначення перерізу дротів на окремих ділянках кола, потужності навантаження тощо.

3.2. МЕТОД КОНТУРНИХ СТРУМІВ

Цей метод (його ще називають методом комірок) ґрунтується лише на другому правилі Кірхгофа, що значно спрощує задачу пошуку струмів у гілках електричного кола.

Згідно з цим методом у кожному замкненому незалежному контурі є і замикаються гіпотетичні контурні струми.

У процесі розрахунку розподілу струмів у гілках кола окремим контур­ним струмам в електричній схемі надають довільний напрямок, вздовж якого у подальшому виконують обхід незалежних контурів. Дійсні зна­чення струмів, які течуть по спільних гілках двох або кількох контурів, визначають як алгебричну суму відповідних контурних струмів.

Розраховуючи коло методом контурних струмів, вводять такі позначен­ня: Ец — алгебрична сума ЕРС, що діють в /-му контурі, яка має назву контурної електрорушійної сили; Я_ії — сума усіх опорів того самого конту­

р у, яка має назву власного опору контуру] Я_(] — опір, який належить одночасно двом контурам, наприклад /-му тау'-му, і має на­зву суміжного опору.

Для того щоб отримати рівняння, за яки­ми визначають контурні струми електрич­ного кола, суміжним опорам Щ припису­ють знак «плюс», якщо довільно обрані за напрямком контурні струми ї_н та І^, що течуть крізь них, мають однакові напрям­ки, та знак «мінус» — у разі протилежних напрямків їх.

На прикладі розгалуженого електричного кола, наведеного нарис. 3.2, визначимо струми у гілках на підставі методу контурних струмів.

Якщо контурні струми І_и та І₂₂ у незалежних контурах - лівому та правому— довільно спрямувати за годинниковою стрілкою, то отримаємо:

• алгебрична сума ЕРС, що діють у лівому контурі кола, становить Е_У{ = Е_{-Е₂, у правому контурі — е₂₂ - Е₂ + Е₃;

• сума всіх опорів у лівому контурі (власний опір) становить Я_и = Я, + Я₁ у правому контурі — Я₂₂=Я₂ + Я₃; ^г'

• опір, який належить одночасно двом контурам, наприклад лівому і має назву суміжного, становить Я₁₂ = Я₂, правому — Я_2] = Я₂.

Таким чином, система рівнянь електричного кола (рис. 3.2) за мето­дом контурних струмів набере такого вигляду:

22

Е

Порівнюючи її із системою, складеною за класичним методом, бачи­мо, що кількість рівнянь системи зменшена з трьох до двох. Розв'язуючи систему, знаходимо контурні струми І_и та /_?2, за якими визначаємо стру­ми у гілках кола, а саме:

/₁ = /_п, оскільки у гілці за номером один контурного струму і₁₂ не­має, а знак «плюс» взято внаслідок збіжності напрямків довільно обраних на початку розрахунків власного струму у гілці й контурного струму;

І₂ = -/] _{ + І₂₂, оскільки у гілці за номером два напрямок довільно об­раного контурного струму І_{[ спрямовано назустріч напрямку довільно обраного на початку розрахунків власного струму І₂, а контурний струм /22 збігається з ним за напрямком;

^3 ⁼ ^22> оскільки у гілці за номером три контурного струму /_и не­має, а знак «плюс» взято внаслідок збіжності напрямків довільно обраних на початку розрахунків струму у гілці й контурного струму.

3.3. МЕТОД СУПЕРПОЗИЦІЇ

У розгалужених електричних колах, де одночасно діють кілька ЕРС, розподіл струмів можна визначити з урахуванням принципу незалежної дії окремих електрорушійних сил. Згідно з цим принципом кожна окрема ЕРС в електричному колі зумовлює в гілках розподіл власних струмів і діє незалежно від решти електрорушійних сил.

Таким чином, наприкінці , „рахунку значень та напрямків струмів, зумовлених окремою дією кожної ЕРС у відповідних гілках кола, підсум­кове значення струму у гілці визначають як алгебричну суму струмів окре­мих джерел живлення.

Для розрахунку значень і розподілу струмів у гілках кола окремо від кожної ЕРС доцільно застосовувати метод еквівалентних перетворень.

Схему електричного кола з трьома джерелами живлення наведено на рис. 3.3. Згідно з методом суперпозиції подамо її у вигляді окремих кіл, кожне з яких має лише одне джерело живлення (рис. 3.3, б, в, г).

Яків попередніх методах, на початковому етапі розрахунку довільно обираємо напрямки струмів у гілках кола. На наступному етапі залишає­мо в колі по черзі одну ЕРС, наприклад Е_{ (рис. 3.3, б), довільно встанов­люємо напрямки дії її струмів /{, 1'₂, Г₃ та, застосовуючи метод еквіва­лентних перетворень, визначаємо повний опір перетвореного кола щодо затискачів діючої ЕРС. У подальшому на підставі законів Ома щодо елек­тричного колата його ділянки визначаємо струми в гілках. Процедуру по­вторюємо стільки разів, скільки джерел напруги є у замкненому колі.

Для наведеного на рис. 3.3, а електричного кола отримаємо:

схема рис. 3.3, б

Я₂ /?з

Я, = Я, +

■з Яі

& + Я

я₂ + я₃

іС

Я_п

я_{2 +} я.₃

схемарис. 3.3, в

К=Я_Э +

/?І + Я₃

ї"- Т"

1_Л -1₂

ї" і₂

7?! + Я₃

я,

1₃ - І_г

схема рис. 3.3, г

З урахуванням довільно обраних напрямків струмів на початковій схемі електричного кола та згідно з методом суперпозиції алгебрична сума струмів у гілках буде такою:

/_г =/;_/»+/;», /₂=-/₂₊/£ ₊ /₂», /₃=/5+/5'₊/£\

3.4. МЕТОД ДВОХ ВУЗЛІВ

Метод ґрунтується на першому правилі Кірхгофа, і його доцільно ви­користовувати в електричних колах, які мають два вузли. Схему електрич­ного кола, гілки якого приєднані до спільної пари вузлів я, Ь, наведено на рис. 3.4.

Згідно з першим правилом Кірхгофа для вузла а можна записати

/і+/₂-/₃=о.

Напругу між вузлами кола можна визначити через їхні потенціали як ^иЬа ⁼ Ч^>ь~⁽Р_а- Якщо умовно прийняти значення потенціалу одного із вузлів, наприклад Ь, нульовим (ср_й = 0), то потенціал вузла а в разі обчис­лення його для всіх з'єднуваних гілок становить:

для гілки (Ь, с, а)

% ^{= (}Рь + Е\-І\Щ> звідки струм ї_х для гілки (Ь, сі, а)

я

¹1

~~ г

_v

и

Ьа

^2 v

^3

<Р_а=Щ + Е₂-І₁Н₂, звідки струм І₇ = ^^Ь ^а^+Е2

Я₂ Я₂

для гілки (Ь, е, а)

и

Ьа

т _Фй-Фа~£з

/, __

Фд ^{= (}Рь~~^Ез ⁺ ^3% звідки струм ~із /і а /₃

Безпосередньо визначити струми за рівнян­нями неможливо, оскільки невідоме значення міжвузлової напруги и_Ьа.

1 1

1

Після підстановки отриманих виразів струмів у рівняння першого правила Кірхгофа отримає­мо рівняння з однією невідомою величиною — міжвузловою напругою:

Е-і р^ Еі

Розв'язуючи його відносно міжвузлової напруги, дістанемо для кола:

ті _ ^1 ^2 ^3 ^иЬа-~ р——

— + — + -~

і?і Я₂ Я₃

або у загальному вигляді

/72 / т

/=1 / і=\

де / — номер гілки, приєднаної до спільної пари вузлів; т — загальна кількість паралельних гілок; Є — електрична провідність гілки.

Наприкінці розрахунку підставимо міжвузлову напругу у вирази струмів і визначимо їх.

3.5. МЕТОД ЕКВІВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Цей метод, або метод холостого ходу та короткого замикання, доціль­но використовувати для дослідження режиму роботи однієї із гілок кола, а саме її струму, без використання розрахунків загального розподілу струмів у всьому електричному колі.

Відповідно до цього методу електричне коло (рис. 3.5) розділяють на дві ділянки. Перша ділянка (рис. 3.5, а) має гілку лише з опором, значення якого може змінюватися. У цій гілці треба встановити залежність /₃ = Д /?₃) за умови, що гілка живиться від відсіченого кола — активного двополюсника. Друга ділянка (рис. 3.5, б)

НІ

має залишок електричного кола без опору Щ, тобто перебуває у режимі холос­того ходу відносно наванта­ження та характеризується електрорушійною силою холостого ходу Е_{х х}.

Активний двополюсник відносно гілки з шуканим струмом розглядають як екві­валентний генератор з елек­трорушійною силою холос­того ходу Е_хх і внутрішнім

опором Я_кз. Внутрішній опір активного двополюс­ника визначають за умовою, що джерел електрорушійних сил у ньому немає, тобто

/з

в

а

■ а

ї*2 Як,

3(Гс°^Т3^КПГ^НЄ,^НІ' ^{а ІХНІ ВЛЯСНІ ВНУТРІШНІ 0П}°Р^И «"несені у зовнішнє коло (рис. 3.5, в), тобто двополюсник пасивний

Іаким чином, для електричного кола, наведеного на рис 3 5 а згіпип .законом Ома щодо електричного кола отримаємо шуканий с^умзави-

І'

І - х.х

кола^ЛщоТа^Рпис^Й3^Н5 'ЯГ™^{0 Х}°^{ДУ визна}™«° "а прикладі схеми хрор_уГй„^Них^Рс^И™³^ £ X с—Г ^У " ^ЗУМ°^{ВЛЄНИЙ ДІЄЮ} —

Якщо прийняти, що потенціал затискача ^ дорівнює нулю Гш, -(» то потенціал затискача а визначимо за рівнянням ^{1 Ь} ~ ^}'

з якого знаходимо напругу на затискачах навантаження у вигляді

^иаЬ = ®а ~Фй = Е_г + Е₂ - І₂К₂.

_{~™^™ТТє™'який перебуває в режимі холостого}

відп^ідГ//™ ««^Рішньо-го опору пасивного двополюсника, то йому відповідає схема електричного кола, наведена на рис. 3.5, *, для якої

^к-³ я₁ + я₁

змінним^птиТт^Г^⁰^ ^{ШУКаНОГ}° ^{СТРУМУ У ГІЛЦІ кола із нщ} значенням опору Я₃ використовують рівняння

+ Я₇

Я,Я₂ Я₁+Я₂^+пі

яке дає змогу легко розрахувати залежність /, =/(Я₃).

Р

ОЗДІЛ

нелінійні електричні кола

_{постійного струму}

Електричне коло вважається нелінійним, якщо воно містить один або більше пасивних елементів. Завдяки цим елементам струм у них і напруга в колі пов'язані нелінійною залежністю та подаються нелінійними алгеб­ричними або диференціальними рівняннями. Якщо струм змінюється не­пропорційно напрузі на пасивному елементі кола, як це відбувається на нелінійному елементі, то, як наслідок, не виконується закон Ома.

Отже, важливою особливістю нелінійного електричного кола є те, що для його розрахунку та аналізу метод суперпозиції непридатний. При роз­рахунку нелінійних електричних кіл користуються вольт-амперними ха­рактеристиками (ВАХ) нелінійних елементів, тобто залежністю струму, що протікає в опорі, від напруги на ньому / = /(б⁷). Цю залежність визнача­ють експериментально або обчислюють аналітично. Вольт-амперні харак­теристики зображують у вигляді графіків, таблиць або приблизними ана­літичними залежностями.

Залежно від здатності накопичувати електричну енергію від джерел або розсіювати її у вигляді теплоти розглядають нелінійні елементи: конден­сатори, котушки та резистори (НО). Відповідно дію їх в електричному колі враховують на підставі нелінійних залежностей потокозчеплення чи маг­нітного потоку від струму (магнітна характеристика нелінійної індуктив­ності), заряду від напруги (електрична характеристика нелінійної ємності) або струму від напруги (ВАХ НО).

Нелінійні елементи поділяють па керовані, які характеризуються сімей­ством вольт-амперних залежностей, та пекеровані, які мають лише одну вольт-амперну характеристику. Вольт-амперні характеристики поділяють на симетричні (/(£/) = -/(-£/))> яким відповідають нелінійні елементи, якщо умови роботи їх не змінюються в разі одночасного змінений знака напруги та струму, і несиметричні {[(1/)ф-[(~и))_г якщо умови роботи нелінійного елемента змінюються.

Прикладами нелінійних елементів із симетричною ВАХ є: лампа роз­жарювання з металевою ниткою (рис. 4.1, а), баретер — сталева нитка у балоні з воднем (рис. 4.1, б), лампа з вугільною ниткою (рис. 4.1, в).

Прикладами нелінійних елементів з несиметричною ВАХ є: електрон­ний діод у балоні з вакуумом (рис. 4.2, а), йонний діод — газотрон у бало­ні з парами аргону, гелію, ртуті (рис. 4.2, б), напівпровідниковий діод (рис. 4.2, в).

Нелінійні елементи з несиметричними ВАХ дістали назву вентилів. У наступному розділі увагу буде приділено лише нелінійному опору (НО) резистора.

в

и

и

_{ми 1^^1^::ГУНКУ ЛІНШНИХ "™™« ™ з нелініини-}

• метод двох вузлів;

• метод еквівалентного генератора

обо^ІГГ^{У Р}°^3ра^^нкУ ^ектричного кола з нелінійними елементами обов язково мають бути відомими їхні вольт-амперні характеристики Якщо електричне коло містить обмежену кількість н^шЖїї' то дощльно використовувати графоаналітичний метод розр^унку '

4.1. ПОСЛІДОВНЕ З'ЄДНАННЯ НЕЛІНІЙНОГО І ЛІНІЙНОГО РЕЗИСТОРІВ

елеме™^Я5^Єп ° ^ЄЛЄІ$^{Тричне кшю 3} послідовним увімкненням нелінійного "^ШШНОШ "ора приєднаних до джерела напруги з електрорушійною силою £ (рис 4 3) "

Припустимо, що ВАХ НО відома і подана у вигляді графіка / = / ) (рис. 4.4). Визначимо силу струму / в колі, яку забезпечує джерело жив­лення. Для цього в масштабі ВАХ НО т^т, розрахуємо та побудуємо ЬАХ лінійного елемента Я як І = /(и_к).

О скільки електричне коло на рис. 4.3 не- С/но розгалужене, то згідно з другим правилом Кірх-гофа рівняння електричної рівноваги матиме вигляд

за яким їх спільну ВАХ / = /(С/цо ⁺ ) ^мож~ на отримати як алгебричну суму значень падінь напруги ({/r)- та (^но)/' Д^е ' — номер зна­чення сили струму /j-, при якій визначається сума.

Силу струму обчислюють двома способами.

* Перший спосіб ґрунтується на побудові під­сумкової ВАХ / = /(^ho ⁺ ^r)' в^их°Д^{ячи 3} того, що всі послідовно з'єднані резистори лінійні та крізь них тече однаковий за силою струм. Тобто алгебрична сума значень падінь напруги визначається підсумовуванням відрізків (ш).+(тр). = (Щ)_і при незмін­ному значенні сили струму І_і (рис. 4.4). От­римані відрізки (тд). належать напрузі під­сумкової ВАХ обох елементів, за якими її будують. Силу струму визначають графічно. Для цього на осі абсцис відкладають відрізок напруги, який дорівнює електрорушійній силі джерела живлення, і з отриманої точки проводять перпендикуляр до перетину з підсумковою ВАХ (точка Q. Проекція точки Сна вісь орди­нат (точка т) дасть значення сили струму, яку забезпечує джерело жив­лення. Проекції точок пір на вісь абсцис дають змогу визначити падіння напруги на нелінійному <7_Н0 та лінійному U_R елементах. Застосування першого способу має переваги за умови, що потрібно

визначати масив значень сили струму при безперервному зміненні зна­чень електрорушійної сили джерела живлення.

• Другий спосіб має перевагу тоді, коли змінною величиною при визна­ченні струму у колі є лінійний опір навантаження.

Для електричного кола, наведеного на рис. 4.3, за другим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги має вигляд

1R + U_U0=E,

або

и

но

R

який відповідає рівнянню прямої лінії виду y = a-bx.

Я кщо в отриманому рівнянні U_H0 = = 0, то це можливо лише за умови, що струм уколі / = E/R. Якщо U_H0 = Е, то це можливо за умови, що струм у колі / =0. Графік цього рівняння як прямої лінії зображено на рис. 4.5. Ця пряма лінія ЕСІ не що інше, як дзеркальне відображення ВАХ лінійного елемента _{Рис 4} ^{1 =} f i^uR )> ^ЯКУ проведено з точки U = £'

_п . під кутом гх у протилежному напрямку

ПроекщяточкиС-^перетинутрансформованоїхарактеристики / =/Ш_р ) .з залишковою ВАХ нелінійного елемента / = f₍U_no) - на вісь ординат

Якпго ™^ГІ^ВИЗНРРГ^{И СИЛУ СТРУМУ}' ^{забезпечено}™ Джерелом живлення. Якщо значення ЕРС джерела живлення відрізняється від Е, наприклад

А, <£ при незмінному лінійному опорі (7^ const), то графік залежності І __Е ицо

R /Г ^{зшститься влшо}> ^але кут її нахилу а не зміниться. Нове зна­чення сили струму визначиться проекцією точки С навісьструмів Падін­ня напруги на пасивних елементах дорівнюватимуть проекціям відрізків відповідних ВАХ на вісь абсцис за умови, що U_{H0 +} U_R^E (рис. 4 5)

Так само розраховують нелінійне коло з двома нелінійними пасивни ми елементами: НОІ та Н02 (рис. 4.6). пасивни

Згідно з другим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги електричного кола з двома нелінійними елементами матиме виїляд

^НОІ ⁺^Н02 ~ £•

Якщо у рівнянні падіння напруги на другому нелінійному опорі ^иИ02 - Ц то у цьому разі воно спрощується до вигляду U_HQ] = Е. Однак 36

Ю2

0 лише тоді, коли струм в елек­тричному колі / =/(^Н02) ⁼ ^- ^^К1П.° //_Н02 = АВ, то у цьому разі С/цої = Е~ АВ-АА *. Це можливо за умови, що / = /(^Н02) ~ * ^п°ДЇбна до побудови дзеркального відображення характерис­тики І = /(и_Н02) відносно перпенди­куляра, проведеного з точки и -Е па осі абсцис (рис. 4.7). Розв'язок рівняння визначають, як і в попередньому при­кладі, тобто за проекцією точки перети­ну С характеристик / = /(С/цої) ^та ^ ⁼ = /(£ - £/_Н02) на вісь ординат.

4.2. ПОСЛІДОВНЕ З'ЄДНАННЯ НЕЛІНІЙНОГО ТА ЗМІННОГО ЛІНІЙНОГО РЕЗИСТОРІВ

Розглянемо електричне коло з послі- довним увімкненням нелінійного еле- мента НО і лінійного резистора із змін- ним опором (/? = уаг), приєднаних до р_Ис. 4.9 джерела напруги з електрорушійною си- лою Е (рис. 4.8). Припустимо, що ВАХ НО відома і подана у вигляді графі- ка / = /(#но) (рис. 4.9). Визначимо сили струмів / та І_{, які тектимуть в електричному колі, а також падіння напруги на кожному пасивному еле- менті для двох значень лінійного змінного опору.

Відомо, що ВАХ лінійного елемента — це пряма лінія, проведена під

кутом а­

^т1

Щ )

до осі абсцис. Тому в разі змінення значення

лінійного опору пропорційно йому змінюється кут нахилу його ВАХ. Як приклад на рис. 4.9 наведено графіки для визначення струму і падінь на­пруги в електричному колі (рис. 4.8) для випадку, коли К<Ку При визна­ченні цих величин за основу взято другий спосіб розрахунку.

4.3. НЕЛІНІЙНЕ ЕЛЕКТРИЧНЕ КОЛО З КІЛЬКОМА ДЖЕРЕЛАМИ ЖИВЛЕННЯ

Іноді в нерозгалуженому нелінійному електричному колі може бути до­даткове джерело живлення, наприклад додаткові витки вторинної обмот­ки трансформатора, якими забезпечується потрібний рівень напруги жив-

л ення в разі змінення потужності кола навантаження або значної втпати

гопжГ ^{У 3 ЄДНувальн}™ гротах мереж! живлення. Електричне колез уз годженимувшкненнямдодатковоїелектроруш

кола^виГ;™ -кричної рівноваги

або

Е + Е₁ ^Іїцз +[/■

Е = ~Е₁ +и_но+и^ ^и*_ио + ІІ

Відповідно до отриманого рівняння ВАХ нелінійного елемента гг,іп перенести паралельно самій собі вліво на розмір ЕРС?( 1 Гяк зобі^

^П°^{ДаЛЬШЄ Р03В}'™ Здачі ^^^у^^ прикладах, але з характеристикою ВАХ ділянки кола, яка враховує додат^

кову електрорушійну силу тобто 1 =/(и*_Н0^/(-Е_х +и_яо)

Якщо напрямок дії додаткової електрорушійної сили *Я не збігається

або

^^^^ ^ЄЛЄКТр°Р^{ушійної} «(рис. 4.12), то рівняння електрично, рівноваги кола за другим правилом Кірхгофа набере вигляду

Е = Е_{+и_Н0+и

гг**

Відповідно до отриманого рівняння ВАХ нелінійного елемента гттіп перенести паралельно самій собі вправо на розмір еяе^Ж™™ (Е_х), як зображено на рис. 4.13. ^ш

Р^ішЛЛлхТ^ ^СаМ°' ^{Ж У ПОПЄ}Р^е^іх прикладах, але з ха-раоеристикою ВАХ ділянки кола, яка враховує додаткову ЕРС, тобто

^і-Ц^ияо)^/{Е₁+и_но).

д

І ноді джерело струму приєднують паралельно нелінійному елементу НО. Приклад узгодженої дії додаткового дже­рела струму / з основним струмом / наведено нарис. 4.14, а. Згідно з першим правилом Кірхгофа рівняння електрич­ної рівноваги у вузлі кола має вигляд

^гно>

або

но-

Відповідно до отриманого рівняння ВАХ НО слід перенести паралельно са­мій собі вгору на розмір сили струму джерела живлення /_д, якзображено

на рис. 4.14, б. Далі задачу розв'язують так само, як у попередніх прикла­дах, але з характеристикою ВАХ ділянки кола, яка враховує додаткове дже­рело струму, тобто /_но = /_д + /_но = /{V).

Схему електричного кола із зустрічним увімкненням джерела стру­му та приклад побудови підсумкової ВАХ ділянки кола, яка враховує до­даткове джерело струму, тобто Іц₀ = /(£0, наведено відповідно на рис. 4.15, діб

4.4. ПАРАЛЕЛЬНЕ ВВІМКНЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Іноді, коли нелінійні елементи приєднані до спільного джерела жив­лення, тобто паралельно, може виникнути потреба у побудові еквівалент­ної ВАХ ділянки кола. Приклад паралельного ввімкнення нелінійних еле­ментів НО 1 та Н02 до спільного джерела електрорушійної сили £наведе­

но на рис. 4.16. За умови, _що ВАХ нелінійних елементи; задані графічно (рис. 4.17) визначи Н02 ^мо «руми у гілках кола. визначи Для того щоб побудувати еквівалентну ВАХ паралельних гілок, складемо рівняння електрич рівновага кола за першим правилом Юрх-

^/(^ = ^/НОі(У) + /_Ио2(У)-Оскшьки напруга на паралельних гілках однакова, воно спрощується:

^{/-/Н01 +/Н02,}

"^^bt^ —них гілок, „еобхід-

_{«в у кожному з н^С^^Г/"^ Д° ™Х СИЛИ}

тими BAY Піп™, ■■ ментів ^/_Н0]ї /_Н02) за їхніми особис-

™т^,^ z::: жг"™в,дповіднод° с~-

відатимуть тим™; _н°~

ви еквівалентної ВАХ ділянки кп„„ ''^{СКВІВалентно1} ВАХ. Після побудо-розглянутими у попер^іх™_и^^Ж^^СНЮЮ^ ^{33 ИЄТ0ДаМИ}' - сили стр_Умуджерела живле^яГто Т"'"

перетину ВАХ /_{Н01 =т} та еквівалентної ВАХ У* -отриманої за спрощеним рівнянням відносно струмів "

("'ноз=/(£/) /ног = /(£/)

4.5. ЗМІШАНЕ З'ЄДНАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

Розглянемо електричне коло (рис. 4.19), утворене змішаним з'єднан­ням нелінійних елементів HOI, Н02, НОЗ, підімкнутих до спільного дже­рела живлення з електрорушійною силою Е.

Припустимо, що ВАХ нелінійних опорів /_но1 %02 = /(^)>

/ _ноз = (17) відомі (рис. 4.21). Визначимо сили струмів, що течуть у гілках кола, та падіння напруги на них при відомому значенні електрорушійної сили джерела живлення.

Топологічний аналіз схеми електричного кола доводить, що воно містить нелінійні елементи Н02, НОЗ, з'єднані паралельно, атому на пер­шому етапі перетворення електричного кола побудуємо їх спільну ВАХ І_тп =(1/), як зображено нарис. 4.17.

Після перетворень початкова схема кола набере вигляду схеми, наве­деної на рис. 4.20. Застосовуючи до неї другий спосіб розв'язання неліній­ного кола (див. рис. 4.7), отримаємо повний розв'язок задачі (рис. 4.21).

4.6. РОЗРАХУНОК РОЗГАЛУЖЕНОГО НЕЛІНІЙНОГО КОЛА МЕТОДОМ ДВОХ ВУЗЛІВ

Як відомо, метод двох вузлів застосовують тоді, коли електричне коло містить лише два вузли, або методами початкових перетворень його мож­на звести до електричного кола з двома вузлами. Цей метод ґрунтується на першому правилі Кірхгофа.

У підрозділах 4.3, 4.4 розглянуто перетво­рення гілок електричного кола, які складають­ся з нелінійного елемента і послідовно ввімк­неного джерела живлення, та з паралельним з'єднанням виключно нелінійних елементів (рис. 4.22). Застосування їх дасть змогу отри­мати таке.

Нехай ВАХ нелінійних елементів НОІ, Н02, НОЗ відповідно подані у вигляді графіків . . ^на Р^ис- 4-23, а електрорушійні сили лжепегт

живлення співвщносяться так: Е_} > Е₂ > Е₃. Тоді для довільно обраних напрямків струму у гілках кола (рис. 4.22) рівняння електричної рівноваги складене на підставі першого правила Кірхгофа, матиме вигляд А + /₉ +' + /₃ - 0. Кожний із струмів рівняння є нелінійною функцією падіння на­пруги на власному нелінійному опорі: /₁=/(і7₁)_і /₂ = /(г/₂)₅ /₃=/(с/)

(рис. 4.23). Тому згідно з методом двох вузлів кожний із них доцільно по­дати у вигляді нелінійної залежності, але від спільної міжвузлової напру­ги, тобто як /], /₂, І₃~/(и_аЬ). Згідно з методом двох вузлів потенціал поте°_н^Г^я^{ВУЗЛІВ ПрИЙМаємо} нульовим, наприклад ср^О, і визначаємо ^и^оТ°^{ГОВУЗЛа % в1дноснопоте}ВД^У П Длявсіхгілокміжними.

нп рп^^{И ПаДІННЯ НаПРУГ На хожном}У нелінійному опорі, визначені віднос­но спільної міжвузлової напруги:

щ		-иаЬ;
и3

/ і	і
	—Зі

и₉

Рис. 4.23

Т аким чином, виникає задача з перебудови початкових залежностей ВАХ

на залежності

І^/^-Щ), І₂=/(Е₂-и₂),

І_г = /(Е₃-и₃).

Приклад перебудови ВАХ І_х = І{ІІ_Х) першого нелінійного елемента НОІ наведено на рис. 4.24. При перебудові враховано, що коли струм / ₍ = 0, то це можливо при и_х =0 (рис. 4.23). У цьому разі и_аЬ = Е_х. Якщо струм зростатиме, то про- порційно йому зростатиме і напруга на НОІ та відповідно зменшуватиметься міжвузлова на- пруга и_аЬ = Е_х-и_х<Е_х. Якщо струм у гілці змі- _р^ ^ нить напрямок на зворотний, то змінюється і на- прямок падіння напруги в ній, тоді міжвузлова напруга становитиме

и_аЬ = Е₁+и₁>Е₁. . . ..

Після завершення перебудови струмів у гілках кола відносно спільної міжвузлової напруги і відповідно до першого правила Кірхгофа виконує­мо їх графічне підсумовування (рис. 4.25). Підсумкова ВАХ перетинає вісь напруги в точці, яка має значення міжвузлової напруги XI_аЬ . Перпенди­куляр, проведений з цієї точки до перетину з ВАХ окремих нелінійних елементів, і проекції цих точок на вісь струмів дорівнюватимуть їхнім зна­ченням у кожній із гілок електричного кола.

4.7. СТАТИЧНИЙ І ДИФЕРЕНЦІЙНИЙ ОПОРИ НЕЛІНІЙНОГО ЕЛЕМЕНТА

Властивості нелінійного елемента можна подати у вигляді його ВАХ або у вигляді його статичного чи диференційного К_д опорів, залеж­но від сили струму або напруги на ньому.

Під статичним опором нелінійного елемента розуміють відношення незмінної напруги на ньому до струму, який при цій напрузі тече крізь елемент.

Вольт-амперну характеристику нелінійного елемента та порядок визна­чення його статичного опору

наведено на рис. 4.26.

У

разі потреби статичний опір можна ви­значити графічно, а саме

'і

т

т

Якщо нелінійний елемент постійно працює в одній точці ВАХ, то його можна замінити лінійним елементом, значення опору якого до­рівнює статичному опору.

Під диференційним опором нелінійного еле­мента розуміють величину, яка характеризує опір при незначних відхиленнях струму і напру­ги на ньому навколо робочої точки С ділянки [а, Ь] нелінійної ВАХ.

д

Вольт-амперну характеристику нелінійного елемента та порядок визначення його диферен-ційного опору

НО

А/ (II

наведено на рис. 4.27.

У разі потреби диференційний опір можна визначити графічно, а саме

гЬрп^Г "°^{СЛЩ0ВН0МУ З}'^{єднанні} нелінійних елементів еквівалентний ди­ференційний опір їх дорівнює *_д =Щ ₊і?_{2 +}... натійшдставі, що похідна суми складових дорівнює сумі похідних від кожної складової суми.

4.8. ЗАМІНА НЕЛІНІЙНОГО ОПОРУ ЛІНІЙНИМ ТА ЕЛЕКТРОРУШІЙНОЮ СИЛОЮ

Таку заміну виконують, якщо режим роботи нелінійного елемента не виходить за межі певної ділянки ВАХ, яку з відомою точністю можна по- дати у вигляді прямої лінії. мижна по

Вольт-амперну характеристику нелінійного елемента І = /Ш„_п) _для якого визначено умови такої заміни, наведено на рис. 4.28. Так якщо ро­боча ділянка нелінійного елемента НО [а, Ь], то диференційний опір еле-

^{МУ ВЩП0В1ДаЄ ВАХ}' - ^ПРЯМа ™> ^щ0 Сходить через ?очки . і Ь до перетину з віссю напруги, повинен мати послідовно приєднане дже­рело з електрорушійною силою Е, напрямок дії яко; збігаємся з напрям­ком падіння напруги на лінійному диференційному елементі з опором Л го і™"" ^ЄлектР^и™ої Рівноваги відповідної ділянки електрично­го кола, принципову електричну схему якого наведено на рис. 4.29, має 44

и

Рис. 4.29 и

Рис. 4.31

д

ВИГЛЯД

т=Е+и.

Якщо ВАХ нелінійного елемента / = /((У_Н0) є такою, як на рис. 4.30, то еквівалентний йому лінійний диференційний опір також визначається прямою лінією, що проходить через точки а\Ь до перетину з віссю напру­ги, а послідовно приєднане джерело електрорушійної сили Е матиме на­прямок, зворотний напрямку падіння напруги на лінійному диференцій-ному опорі /?_д.

Рівняння електричної рівноваги відповідної ділянки електричного кола, принципову електричну схему якого наведено нарис. 4.31, матиме вигляд

//г_д =-£+(/.

Після заміни нелінійного елемента лінійним диференційним опором електричне коло розраховують як лінійне коло, але за умови, що його ро­боча точка С не виходить за межі ділянки [а, Ь].

4.9. СТАБІЛІЗАТОРИ НАПРУГИ

НА ОСНОВІ НЕЛІНІЙНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

За допомогою нелінійних елементів можна виконати такі прилади, як чотириполюсники, відносні зміни напруги на вході та виході яких спів­відносяться так:

АУ

ВЇІХ

АІІ

вх

и

и

В ідношення

/7_ВХЛ/7_ВИХ

^и™* м ає назву коефіцієнта стабілізації за напругою.

Розглянемо найпростішу схему стабілізатора на­пруги, наведену нарис. 4.32.

Нехай ВАХ нелінійного елемента / = /(17_но) (рис. 4.33) працює на ділянці [а, Ь] з коливаннями напруги джерела живлення £ = ±Д£/_ВХ+£/_вх. Замінимо нелінійний еле-

мент лінійним диференційним елементом з опором і? із _по_

^{д т}]

І =■

слідовно приєднаним джерелом електрорушійної сили {-Е_х\ Відповід­но до закону Ома щодо перетвореного електричного кола (рис 4 34) його рівняння електричної рівноваги отримаємо у вигляді

Е + Е\

я_{д +} я-

Помножуючи складові рівняння на опір навантаження, отримаємо

Е+Е

^вих Я_д+Я

Я.

Оскільки напруга на вході кола чотириполюсника дорівнює ЕРС іде­ального джерела живлення з Е = {] то

Я.

вих

и

я_д + я

Після диференціювання воно становить

Я

д

/=/(гу_Но+^)

Яп+Я д£/

д ____вх

звідки сіи

вх

Я

ВИХ " "^иВИХ

Додатково визначаємо відно­шення

и

и

' К ^

я

вх ,

я_д + я

вих V ^вх ~"

Таким чином, коефіцієнт ста­білізації електричного кола з не-

_■ф

Е1

її

и₃

Рис. 4.34

лінійним елементом, послідовно приєднаним до резистора навантажен­ня, можна визначити за таким виразом:

я_{д +} я

( Ел ^

и

, -»-»1

V

вх /

К

я

вх

1+-

и

З аналізу рівняння випливає, що зі збільшенням диференційного опо­ру Я нелінійного елемента або його додаткової електрорушійної сили

/і, коефіцієнт стабілізації за напругою зростає. Цій вимозі задовольняє нелінійний елемент баретер, наприклад типу 0,ЗБ 17-35, з ВАХ, наведе­ною нарис. 4.35. З характеристики видно, що у діапазоні напруг 17... 35 В струм у навантаженні, ввімкненому послідовно з баретером, становить приблизно 0,3 А.

Більш ефективним стабілізатором напруги слід вважати параметрич­ний стабілізатор, найпростіший вигляд якого наведено нарис. 4.36.

І люстрацію принципу дії параметричного стабілізатора наведено на рис. 4.37.

Нехай ВАХ нелінійного елемента

/ = /(^но) ^пР^ай^{ює на} ділянці [а, Ь] при коливаннях напруги живлення джерела Е = ±А/7_ВХ + /7_ВХ.

Замінимо ВАХ нелінійного еле­мента НО на ділянці [а, Ь] диференцій-

)Нтт _п

ним елементом з опором Я_п =—— tgp

^д М ї

та електрорушійною силою Е_х і отри­маємо нову схему параметричного ста­білізатора з лінійним диференційним опором (рис. 4.38).

Згідно з другим правилом Кірх-гофа для контуру електричного кола

( див. рис. 4.38) на вході матимемо звідки вхідний струм

/ - ^вих ~ ^вх

^0 '

и.

в их

и,

в их

я

З гідно з другим правилом Кірхгофадля контуру електричного кола (див. рис. 4.38) на виході рівняння рівноваги

д

Оскільки за першим правилом Кірхго-фа для вузла кола

е,Я₍

де струм у навантаженні /₃ = О_тк/Я, то, під­ставляючи вирази струму у рівняння першого правила Кірхгофа, отримаємо

\

Я

_{и =и І1-3, я}

■д

пх ^и вих \ [і

Звідси визначимо складові коефіцієнта стабілізації пристрою парамет­ричного стабілізатора, а саме

и

_^=іЗЗ-^

Г» ^ Гї ^ 1

вих

після диференціювання

я'

ВИХ ^л\ц

Остаточно коефіцієнт стабілізації пристрою з паралельними неліній­ним елементом та резистором буде

ЩЯ,

к = \ +

_ Аналіз рівняння дає змогу стверджувати, що зі зменшенням диферен-цшного опору Л_д нелінійного елемента або збільшенням його додаткової електрорушійної сили е_} коефіцієнт стабілізації за напругою зростає Цій вимозі задовольняють такі нелінійні елементи, як стабіловольт або стабілі­трон. Наприклад, стабіловольттипу 80С10-30 має ВАХ, наведену на рис 4 39 з якої видно, що у діапазоні його струму від 10 до ЗО мА на навантаженні' ввімкненому паралельно, підтримується незмінна напруга {]= 80 В.

РОЗДІЛ

чотириполюсники

5.1. ОСНОВНІ ВІДОМОСТІ

Джерело живлення електричної енергії та електричний приймач за­звичай приєднують один до одного через досить складні проміжні ланцю­ги (мережі передачі напруги живлення, трансформатори тощо).

Ділянку електричного кола, яка має дві пари затискачів, називають чотириполюсником (рис. 5.1).

Затискачі Г-Г мають назву вхідних і призначені для приєднання до джерела живлення затискачі 2'-2" — відповідно вихідні й призна­чені для приєднання навантаження Я.

Якщо всередині чотириполюсника немає джерела живлення, то він має назву пасивного.

Найпростіший чотириполюсник —двопровідна повітряна (рис. 5.2, а) або кабельна (рис. 5.2, б) мережа живлення з урахуванням опору міжфаз-ної ізоляції.

у Ил/2 Ил/2 ₂' Кл/2

Позначення, прийняті в описанні чотириполюсника:

и_х — вхідна напруга, В; /, — вхідний струм, А; У?_ВХ=І7₁//₁ —вхідний

опір, Ом; Ц₂ — вихідна напруга, В; /₂ — вихідний струм, А; Я = и_гі1_г —

опір навантаження, Ом.

Між величинами и_}, /_}, £Л>, /₂ існують лінійні залежності, які мають

назву рівнянь чотириполюсника.