5.2. Рівняння чотириполюсника

Електричну схему будь-якого пасивного чотириполюсника можна пе­ретворити на схему з трьох резисторів, з'єднаних за схемою трипромене-вої зірки У або трикутника А. Обидві схеми мають додаткову назву: відпо­відно Т-подібна та П-подібна еквівалентні схеми.

Розглянемо Т-подібну еквівалентну схему пасивного чотириполюсни­ка (рис. 5.3).

1'Л Д, Лі.2'/₂

и₂

Встановимо залежність вхідного струму від вихідних величин, а саме І_{ = /(£/₇, /_?).

Згідно з першим правилом Кірхгофа для вуз-Я ла кола маємо

1 +

і

1 ще, я

\

₂₊(и_{2 +} і₂я₂)^^₊і₂

Встановимо залежність вхідної напруги від вихідних величин, а саме £/, = /(и₂, /₂).

Згідно з другим правилом Кірхгофа для зов­нішнього контуру та з урахуванням залежності

_{/і=/(С^2» Ч) отримаємо}

£/] ^1₁Я₁ + І₂Я₂₊і/₂ =

я₁ + /₂я₂+и₂

(. яА„ (

яя

і +

я

V

и₂+ я_{+я₂ +

¹0 У

Я,

¹0

1^Л2 і / ^і2-

Введемо позначення:

в = я_{1 +} я_{2 +}

^1^2 .

v

З урахуванням позначень співвідношення /, = /((/₂, І₂) та £/, =

= /(^2» ^г) ^для Т-подібної еквівалентної схеми чотириполюсника набе­руть вигляду системи рівнянь

щ=ли₂ + ві_2і і_{=си₂+ві₂,

що мають назву рівнянь чотириполюсника з постійними коефіцієнтами, які залежать лише від його внутрішніх опорів.

Розглянемо П-подібну еквівалентну схему пасивного чотириполюсни­ка (рис. 5.4).

Встановимо залежність вхідної напруги від вихідних величин, а саме

Уі=/(и₂,і₂).

Згідно з другим правилом Кірхгофа для зовнішнього контуру маємо

2 )

Я

1"

2)

Встановимо залежність вхідного струму від вихідних величин, а саме

і_х=/(и₂, /₂).

Згідно з першим правилом Кірхгофа для вузла кола Г та з урахуван­ням залежності ІІ_Х = /(и₂, І₂) отримаємо

Введемо позначення:

■о

¹

Я,

(

+ -¹

^ я₂ я_хя₂

Яп

А=1 +

Ш₂₊[і^

_г \ 1 я§

З урахуванням позначень співвідношення І_х = /(^2> ^2)^та ^1 ~ /(^2' ^2) для П-подібної еквівалентної схеми чотириполюсника наберуть вигляду системи рівнянь

£/, =Ли₂ + ВГ₂;

і_{ =си₂ + оі₂.

Таким чином, система рівнянь чотириполюсника має однаковий ви­гляд для будь-якої його еквівалентної схеми. Відмінність стосується лише виразів постійних чотириполюсника.

5.3. Постійні чотириполюсника

Постійній, В, С, В чотириполюсника, з яких А, О — безрозмірнісні, В — Ом, С— См, пов'язані лінійним рівнянням

АО-ВС = \.

Виведемо його для т-подібної еквівалентної схеми чотириполюсника методом від зворотного, тобто підставляючи дійсні значення їх в лінійне рівняння:

ЛВ =

я₀я₂ + я₍₎я₁ + я₁я₂

)

ад +я_і)я₂+я_]я₂ я²

звідки АО-ВС = \.

Якщо затискачі чотириполюсника (рис. 5.1) поміняти місцями, тобто вважати затискачі 2'-2" вхідними, а Г-Г вихідними, та побудувати си­стему рівнянь відповідно до попереднього, то рівняння чотириполюсни­ка отримаємо у вигляді

и₂^Ои_х+ВІ_х; І₂=Си₁+АІ₁.

З порівняння систем рівнянь чотириполюсника в разі його живлення як із вхідних, так і з вихідних затискачів випливає, що зміна відбулася лише у перестановці місцями безрозмірнісних постійних А і В.

Чотириполюсник вважають симетричним, якщо в разі змінення місць прикладення напруги живлення та навантаження споживача вхідні й вихідні напруги та струми не змінюються, тобто якщо

або

Л = 1 +

Я

*0

я₁ = я₂

5.4. ВИЗНАЧЕННЯ ПОСТІЙНИХ ЧОТИРИПОЛЮСНИКА

Постійні чотириполюсника визначають експериментально, а саме про­веденням досліджень холостого ходу та короткого замикання.

Електричні схеми для проведення дослідів експериментальних дослі­джень чотириполюсника у режимах холостого ходу та короткого замикан­ня і при живленні з боку вхідних затискачів наведено відповідно на рис. 5.5, а і б. Той самий чотириполюсник, але при живленні з боку вихідних затискачів наведено на рис. 5.6, а, б.

Розглянемо режим холостого ходу кола за схемою рис. 5.5, а. Згідно з режимом опір навантаження Я-со, струм на вході /₁₀, напруга живлен­ня і/_]0. В цьому разі струм на вихідних затискачах І₂=0 і рівняння чотири-

и₂=о

Р ис. 5.6

полюсника наберуть вигляду

10 ~^^и2-

Під час проведення режиму короткого замикання за схемою рис. 5.5,6" опір навантаження Я = 0, струм на вході У|^, напруга живлення /У_1К.

В цьому разі напруга на вихідних затискачах II₂ = 0 і рівняння чотирипо­люсника наберуть вигляду

г_]К = ог₂.

Вхідні опори чотириполюсника в режимах його холостого ходу та ко­роткого замикання при живленні з боку затискачів У ~\" становлять:

1

Я

0

10

С

і к

І

1К

Розглянемо режим холостого ходу за схемою рис. 5.6, а. Згідно з режи­мом опір навантаження /? = со, струм на вході І₂₍₎, напруга живлення £/₂₀,

В цьому разі струм на вихідних затискачах ^ =0 і рівняння чотирипо­люсника наберуть вигляду

и

20

ви,

і₂₀ = си_{.

Під час проведення режиму короткого замикання за схемою рис. 5.6,6 опір навантаження /?-0, струм на вході І_ж, напруга живлення и_2К. В

цьому разі напруга на вихідних затискачах и_{ ~0 і рівняння чотирипо­люсника наберуть вигляду

и_ж = ві_у-

І_2К=АІ₁.

Вхідні опори чотириполюсника в режимах його холостого ходу та ко­роткого замикання в разі живлення з боку затискачів 2' -2" становлять:

^20 ­

С

^20 _В.

20

2 К

*2К

В

А'

О скільки визначені опори пов'язані спів­ів Р

відношенням —-Ш- = _20_, то для несимет-

2 " ричного чотириполюсника досить знати ли­ше три із них. Визначення четвертого мож­на використати для перевірки обчислень Тому для розрахунку постійних чотири­полюсника за результатами режимів холостого ходу та короткого замикан­ня достатньо обрати три вирази для опорів і лінійне рівняння АР) - ВС = 1 і не проводити один із дослідів.

Якщо для розрахунку обрано рівняння

_{ІІ0 и Лк ° 220 С}

то отримаємо

^u\o_^lJlK __А_ В _ AD - ВС 1 /₁₀ /_1К С D~ CD ~ CD'

о

D 1 1

звідки

^oUio hm) ^{c CD} C²'

С

1

^ll0 ^!IK )

ж

^20

Відповідно інші постійні чотириполюсника

A = C^Vi*; D = C^V^; B^D^U^-. мо ho Лк

Якщо, для прикладу розглянути Т-подібну еквівалентну схему (рис. 5.7), то її опори, визначені за постійними чотириполюсника, становлять:

Я, =(A-l)/C; R₂=(D-\)/C.

Підсумовуючи, можна зазначити таке: якщо в електричному колі є чо­тириполюсник, то проведенням трьох дослідів його можна подати у ви­гляді еквівалентної схеми або системи рівнянь.

5.5. ВИПРОБУВАННЯ ЧОТИРИПОЛЮСНИКА

На практиці під час проведення випробувань чотириполюсника з пов­ним навантаженням P₂=(J₂l₂ може знадобитися надпотужне джерело живлення. Ускладнення відпадають, якщо випробування проводити в ре­жимах холостого ходу та короткого замикання. Так, у режимі короткого

замикання V_2К =0, у режимі холостого ходу /₂0⁼⁰ і втрати потужності у гілці навантаження Р₂=0.В цьому разі споживана потужність для ідеаль­ного випадку Р_х=0 і потреба в потужному джерелі живлення відпадає.

Отже, проводячи випробування чотириполюсника в режимі холостого ходу, регулюють напругу на вході и_[0 таким чином, щоб на виході отри­мати напругу и₂₀~и₂, ^тобто потрібну за номінальною потужністю на­вантаження Р₂. Проводячи випробування чотириполюсника в режимі короткого замикання, регулюють напругу на вході £/_1к таким чином, щоб на замкнених вихідних затискачах отримати струм /_2К = /₂, тобто по­трібний за номінальною потужністю навантаження Р₂.

Результати вимірювань дають змогу визначити напруги і струми {/₁₀, /_10> и_ІК, У_1К, за якими будуть отримані рівняння чотириполюсника у

вигляді

и_І0=Аи₂: и_ІК=ВІ₂;

/,₀ = СС/₂; /,к=й/₂.

Оскільки система рівнянь чотириполюсника для будь-якого режиму його роботи має вигляд

и₁=ли₂ + ВІ₂;

і\ = си_{2 +} ві₂,

то після підстановки в них напруг і струмів у режимах холостого ходу і короткого замикання отримаємо рівняння чотириполюсника у такому ви­гляді:

и_у=и₁₀+и_ІК;

І_х =/ю + Ак-

Тобто за будь-якого режиму роботи чотириполюсника його вхідні вели­чини и_[у ї_х визначають накладенням режимів роботи при холостому ході

та короткому замиканні.

Визначимо, наприклад, вхідні величини Ц~_х, ї_х чотириполюсника, якщо відомо його вихідні величини 1/₂ - 120 В, І₂ - 2 А. Під час прове­дення випробувань у режимах холостого ходу і короткого замикання вста­новлено: І/₁₀ =375 В, /₁₀ = 10А, £/_1К=25В, 7,^ =190 А. Порівняємо потужність джерела живлення, потрібну для проведення випробувань у режимах холостого ходу та короткого замикання з потужністю, яку необ­хідно мати для проведення випробувань чотириполюсника в робочому режимі при номінальному навантаженні.

Згідно з рівняннями чотириполюсника напруга і струм, які необхідно мати для проведення досліджень чотириполюсника в робочому режимі,

становлять:

#і =£/₁₀ + <У_]К =375 + 25-400 В;

/₁=/і₀ + /_ік-10+190 = 200 А.

Потужність, витрачена на проведення досліджень у режимах холосто­го ходу та короткого замикання, становить:

,Р₁₀ =7/₁₀/]₀ =375-10-3750 Вт;

% ^ікЛк =25-190 = 4750 Вт.

Потужність джерела живлення, яку потрібно було б мати для прове­дення досліджень у робочому режимі,

■Р₁=и₁І₁ =400- 200 = 80 000 Вт, і вона майже у сімнадцять разів вища, ніж використана.

_{РОЗДІЛ |С електричні}

^ однофазні кола змінного струму

6.1. ОТРИМАННЯ ТА ПОЗНАЧЕННЯ СИНУСОЇДНИХ ЕЛЕКТРОРУШІЙНИХ СИЛ НАПРУГ і СТРУМІВ

Синусоїдні ЕРС виробляються електричними машинами — генерато­рами, робота яких ґрунтується на індукційній дії магнітного поля

Загальний вигляд генератора змінного струму у перерізі наведено на рис. 6.1. Він має нерухому частину — сталевий статор 1 з пазами 2 в які укладено котушки 3 обмотки А-Х, виконані з ізольованого обмотуваль­ного дроту (рамка АОСХ, рис. 6.2) та рухому частину - ротор 4

Первинний двигун - дизель, турбіна - обертають ротор 4 всередині статора з незмінною кутовою частотою ох Між магнітними полюсами ротора N-8 замикається магнітний потік, силові лінії якого проходять через два повітряних зазори і по спинці статора. Магнітне поле обертаєть­ся разом з ротором. Силові лінії магнітного поля перетинають дроти обмот­ки, а саме ті частини їх, які розміщені в пазах, тобто А—В, С—ЛГ(рис 6 2) Згідно із законом електромагнітної індукції виникають сторонні сили які переміщують у них заряди і тому виникає різниця потенціалів на вихід­них кінцях котушки, тобто електрорушійна сила ±е. Напрямок дії цієї сили визначають за правилом «правої руки». При цьому вважають що обер­таються дроти обмотки, а магнітне поле ротора нерухоме'(відносна 56

Р ис. 6.2

швидкість перетинання дротами обмотки силових ліній магнітного поля ротора о_аідн). Таким чином, ЕРС, наведена на вихідних кінцях котушки,

є = 21В^

ВЩН :

де 2 - кількість активних сторін котушки, які одночасно перебувають у магнітному полі; / - довжина активної частини котушки, розміщеної в пазу статора; В — індукція магнітного поля ротора.

Кожні півоберту ротора напрямок індукції магнітного поля відносно дротів котушки А—В і С—Хзмінюється на зворотний. При цьому напря­мок дії ЕРС також змінюється на протилежний.

Полюси магнітного ротора мають таку форму, щоб розподіл магнітно­го потоку вздовж їх поверхні (у повітряному зазорі зі статором) змінював­ся за синусоїдним законом

В = В_т&іпШ.

В такому разі наведена у котушці ЕРС також синусоїдна, тобто

е = 2ії_вШВ_т 5ІП юґ = Е_т 8ІП сог,

^{де Ет - 2ЬвітВт - амплітудне значення ЕРС у котушці.}

Одному оберту ротора відповідає один повний цикл змінення елек­трорушійної сили у котушці, який називають періодом, позначають сим­волом Т; він має розмірність часу. Величину, обернену періоду, називають частотою, позначають символом / - л/60, де п - кількість обертів ротора за хвилину. Частоту виражають у герцах (Гц).

Якщо до затискачів А-Х котушки генератора приєднати споживач — лампу розжарювання НЕ (рис. 6.2), то в замкненому колі потече струм і, зумовлений дією наведеної електрорушійної сили е. Отже, котушка пере-

Р ис. 6.3

творює зовнішню механічну енергію первинного двигуна на електричну енергію. Щоб збіль­шити наведену ЕРС, збільшу­ють кількість витків у котушці і кількість котушок у пазах ста­тора.

Принципову електричну схе­му однофазного генератора си­нусоїдної ЕРС, до вихідних за­тискачів якого приєднано спо­живач електричної енергії — лампу розжарювання HL, наве­дено на рис. 6.3.

Незважаючи на те що ЕРС і Рис. 6.5

струм змінюють свій напрямок у котушці під час обертання ротора, один із напрямків — від кінця X котушки до початку А — вважають умовно-по­зитивним.

Синусоїдні, наприклад електрорушійну силу, напругу, струм, можна подати у вигляді тригонометричного виразу

де / — миттєве значення струму, тобто у будь-який момент часу від його початку; /_т — амплітудне значення струму, тобто найбільше значення миттєвого струму, якого він набуває два рази за період обертання ротора; Ш + у. = а - аргумент функції, або фаза струму; цг_і - початкова фаза струму яку він має на момент часу t = 0; i_Q = /_msin(\|/₍.) - початкове значення стру­му, яке відповідає моменту часу і = 0; ю = 2п/Т = 2ті/ — кутова частота обер­тання ротора.

Синусоїдні величини можна подати у вигляді часової діаграми (рис. 6.4). Якщо дві синусоїдні величини однієї частоти відрізняються початко­вими фазами, наприклад напруга

M = C/_msin(co/ + \|/_и)

і струм

то їхні часові діаграми (рис. 6.5) зсунуті на постійний інтервал часу А/, а різниця початкових фаз ф = у_и -у,- має назву зсуву фаз. Величину, в якій позитивна амплітуда досягається раніше, вважають випереджальною, іншу — такою, що відстає. Час випередження визначають як

03 ш

6.2. ДІЮЧЕ ТА СЕРЕДНЄ ВИПРЯМЛЕНЕ ЗНАЧЕННЯ СИНУСОЇДНОЇ ВЕЛИЧИНИ

Визначати нагрів дроту струмом за його амплітудним значенням по­милково, оскільки воно триває мить, а весь інший час струм, який гріє дріт, менший від його амплітудного значення. Тому вводять поняття дію­чого значення синусоїдного струму І (літера без індексу). Це таке незмінне значення струму, яке дорівнює постійному струму, що виробляє кількість теплоти, однакову з теплотою, яку виробляє синусоїдний струм. Так, си­нусоїдний струм з амплітудою І_т за один період Г виділить на активному елементі з опором К кількість теплоти

Т

\¥„ = | Ш²сіі. о

Постійний струм / за той самий час одного періоду Т виділить на ак­тивному елементі з опором і? кількість теплоти

\¥₌ = ЯІ²Т.

Якщо кількість виділеної теплоти в обох випадках порівняти, то отри­маємо діюче значення синусоїдного струму у вигляді співвідношення

0,707/_га.

Так само отримаємо:

• діюче значення напруги II я 0,707£/_т;

• діюче значення електрорушійної сили Е я 0,707іі_т.

Іноді користуються середнім (середнім арифметичним) значенням сину­соїдної величини, яке відповідає додатній півхвилі синусоїди, наприклад для напруги

9

т _т

2 ? ² 211

^ о о

т

соб со/

^{I =^т=0,637С/т.}

Так само отримаємо:

• середнє значення сили струму /_с я 0,637/_т;

• середнє значення електрорушійної сили Е_с я 0,637£_т. Відношення діючого значення синусоїдної величини^о середнього

називають коефіцієнтом форми, який для синусоїди становить

к -У-°>^7Ш™ і и

^ф І7_С" 0,637І/_П ~^МК

6.3. ВЕКТОРНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СИНУСОЇДНИХ ВЕЛИЧИН

Синусоїдну величину можна подати у вигляді радіуса-вектора, який обертається на поверхні уОх (рис. 6.6).

Нехай відрізок OA у масштабі т₍ — вектор амплітуди струму І відкладений під кутом у_/ до осі Ох, який обертається проти часової стрілки з незмінною кутовою частотою to. В момент часу/вектор струму займе по­ложення OA'. Його складова А'В в масштабі струму т_і є миттєвим зна­ченням синусоїдної величини i = I_msin((ot + \\/_i)₎ яка дорівнює проекції вектора амплітуди струму на вертикальну вісь 0у радіуса-вектора, що обер­тається.

Радіуси-вектори синусоїд однієї частоти, але неоднакових початкових

ф аз обертаються з однаковою кутовою частотою, їх взаємне положення незмінне, тобто кут зсуву між ними ср = \\І_Ц --\|/_/ = const. Якщо немає по­треби визначати миттєві зна­чення величин, то можна не враховувати обертання век­торів, вважаючи їх нерухоми­ми (рис. 6.7, а).

V

С укупність векторів, які зображають синусоїдні вели­чини однієї частоти, з ураху-

в

X

ванням зсуву фаз називають векторною діаграмою. У цьому разі один із век­торів, наприклад напругу [І_т, спрямовують довільно, решту прибудову­ють до нього з урахуванням зсуву фаз від нього (рис. 6.7, б). Поділивши амплітуди векторів синусоїд на 4і, отримаємо векторну діаграму діючих значень напруг, струмів (рис. 6.7, в).

6.4. КОМПЛЕКСНА ФОРМА ЗАПИСУ СИНУСОЇДНИХ ВЕЛИЧИН

Синусоїдні електрорушійні сили, напруги, струми доцільно записува­ти комплексним числом, яке одночасно враховує їхні діючі значення і фазу.

Комплексну площину [±1; ± Д наведено на рис. 6.8. На ній зображено комплекс діючого значення струму

/е

де крапка над струмом І — ознака комплексної величини; /' = /собхі/,- — дійсна частина комплек-сиогочисла; у7" = у/зіпу,- —уявна частина комп­лексного числа; ]-4^А —уявна одиниця, або фазовий оператор повороту вектора на кут 90°

проти часової стрілки; / = ^(/')²+(/")" — мо- дуль комплексного числа, який дорівнює діючо- _{Рис 6 8} му значенню струму; \[/, —початкова фаза комп- лексного числа, для якої tg\^/_; = Г/Г; е = 2,71 — основа натурального ло- гарифма.

Додатково з комплексом діючого значення струму / на рис. 6.8 наве­дено його комплексне спряжене значення /, яке відрізняється від комплекс­ного значення / протилежним знаком при уявній частині числа.

6.5. ЕЛЕКТРИЧНЕ КОЛО

СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

З АКТИВНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ

Розглянемо електричну схему кола (рис. 6.9, а), яка містить джерело живлення однофазного синусоїдного струму та навантаження у вигляді активного опору г.

Нехай напруга на навантаженні гармонічна і змінюється за синусоїд­ним законом

и = U_m sin со/.

а

д

_{ФЬ и}

г

І_т sin tor,

е І_т =U_m/r — амплі­туда струму на ділянці кола навантаження. Отже, в електрично­му колі синусоїдного струму, навантаженому на активний опір, напруга і струм на ділянці одночасно досягають відповідних (максимальних, мінімальних) значень, тобто збігаються за фазою: ср = \у_и - у - =0. Часові діаграми для розглянутої схеми наведено на рис. 6.9, б.

Якщо амплітудні значення сили струму і напруги на ділянці наванта­ження поділити на V2, то отримаємо закон Ома для діючих значень вели­чин.■

I^U/r.

Миттєва потужність р, яка характеризує швидкість перетворення ак­тивним опором енергії джерела живлення на теплову енергію, становить

р = иі = U_m sin totl sinсо/ = V2(7v2/ sin a>t =

1

= 2Ш±(\-со8(2сог)) = Ш(\-со8(2со/)).

Аналіз виразу потужності дає змогу встановити, що миттєва потужність, залишаючись увесь час позитивною, змінюється з подвійною кутовою час­тотою 2со порівняно з кутовою частотою со напруги та струму, а також коливається в межах 0< р < Р_т, де Р_т = 2Ш — амплітудне значення по­тужності.

Для зручності змінну потужністьр замінюють еквівалентною незмінною потужністю Р, виходячи з умови їхньої рівності за період споживання елек­трики, тобто

РТ = \ рйи

о

Звідси еквівалентна незмінна потужність

Т т Р = ^\рШ = ^\иі(\- оо&{2ш))ії = Ш ¹ о ¹ о

і має назву активної потужності, яку вимірюють електричним приладом — ватметром. Одиниця її виміру ват (Вт).

а

б

в

Рис. 6.10

Часові діаграми потужності й струму у навантаженні наведено на рис. 6.10, а, схему ввімкнення ватметра — на рис. 6.10, б, а векторну діаграму струму і падіння напруги на активному опорі, з якої видно, що вектори збігаються за напрямком (ф = 0), — нарис. 6.10, в.

Поверхня, обмежена часовою діаграмою миттєвого значення потуж­ності р = /(ш) з віссю абсцис соґ, дорівнює енергії, яка надходить в елек­тричне коло за один період і перетворюється на теплоту:

т

\у = \рШ = иіТ.

о

6.6. ЕЛЕКТРИЧНЕ КОЛО

СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

З ІНДУКТИВНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ

Розглянемо електричну схему кола (рис. 6.11, а), яка містить джерело живлення однофазного синусоїдного струму та навантаження у вигляді котушки індуктивності.

Під дією синусоїдної ЕРС джерела живлення в електричному нерозга-луженому колі встановиться синусоїдний струм

/ = І_т біпсо/,

де Еі = (пЫ_т — амплітудне значення ЕРС самоіндукції.

який зумовить у котушці індуктивності появу електрорушійної сили са­моіндукції

З астосовуючи до ко­ла друге правило Кірх-гофа з припущенням, що активний опір ко­тушки дорівнює нулю (г = 0), отримаємо

= tf_msin

и - -e_L = mLI_m cosсо/ =

^f+f)

де u_m = ®LI_m — амплі- тудне значення падіння напруги на котушці ін- . _г дуктивності.

Поділивши амплітуди на V2, отримаємо діюче значення напруги на котушці

u ~ (q/J ,

звідки закон Ома для ділянки кола з індуктивністю

i = JL = JL

coZ х^'

де x_L = со£ = 2лД — реактивний індуктивний опір, що враховує енергію магнітного поля, накопичену у витках котушки індуктивності від джере­ла живлення, і має назву індуктивного опору. Одиниця його — ом (Ом).

^{Порівнюючи вирази струму /= /т sin со/ і напруги и = um sin (®t +1^}

можна встановити, що в електричному колі синусоїдного струму з наван­таженням у вигляді котушки індуктивності напруга на ній і струм перебу­вають у квадратурі, причому напруга випереджає струм у часі на чверть періоду (Д/=Т/4), або на кут зсуву ^. Отже, якщо « = c7_msmco/, то і = І_т smf&t~~j Кут зсуву вектора струму відносно вектора падіння на­пруги на котушці індуктивності, або кут зсуву за фазою,

Ф = ¥_и-¥/=0-(-|)=|>0.

Часові діаграми для розглянутої схеми наведено на рис. 6.11,6. Величину, обернену індуктивному опору, а саме

*L=V*L

називають реактивною індуктивною електричною провідністю. Одиниця її — сименс (См).

Стосовно опору і провідності закон Ома набирає вигляду виразів, які враховують або діючі значення величин напруги і струму

I = U/x_L =b_LU,

або одночасно модуль і фазу величин, якщо вони записані у комплексній формі, тобто

У цих виразах (yx_L) і (-jb_L) — відповідно комплексний індуктивний опір та його провідність, що забезпечують автоматичне повертання вектора струму відносно вектора напруги на кут 90° за часовою стрілкою.

Миттєва потужність визначається як добуток миттєвих значень напру­ги на індуктивності й струму і характеризує, з одного боку, швидкість пе­ретворення котушкою індуктивності енергії джерела живлення на енер­гію магнітного поля

-_иі - L^Li - Eidi dt dt

а з другого — її коливання

p = ui = U_m sin <ot ■ I_m sin (cat ^ 2 )⁼

= --J2U si n (fit ■ 421 cos (о/ = -UI si n (2w/).

Аналіз виразу потужності дає змогу встановити, що миттєва потужність змінюється з подвійною кутовою частотою 2о) порівняно з кутовою час­тотою to напруги та струму, а також коливається в межах 0</5< Р_т, де Р_т=+Ш — амплітудне значення потужності.

Позитивному значенню потужності відповідає створення магнітного поля котушки індуктивності за рахунок джерела живлення, а негативно­му — повернення джерелу живлення накопиченої енергії магнітного поля котушки, яке стає на деякий час споживачем енергії.

Для зручності змінну потужністьр замінюють еквівалентною незмінною потужністю Р, виходячи з умови їхньої рівності за період споживання елек­трики, тобто

Т

РТ = \ pdt, о

звідки

т т /> = lj^/ = lj -ur sin (2ш)Ф = 0. о о

Т аким чином, в індуктивному електричному колі відбувається безперер­вний процес обміну енергією між джерелом живлення та котушкою індук­тивності без витрат енергії у вигляді теплоти. Тому, щоб кількісно оцінити інтенсивність обміну енергією, вводять поняття реактивної індуктивної по­тужності £_ь ВАр, якій надають значення амплітуди миттєвої потужності

Часові діаграми потужності й струму у навантаженні наведено на рис. 6.12, а, векторну діаграму струму і падіння напруги на котушці індуктив­ності, з якої видно, що кут зсуву векторів ер - 90°, — на рис. 6.12, б.

Струм, який відстає від напруги на кут ф = 90°, називають реактивним намагиічувальним струмом.

6.7. ЕЛЕКТРИЧНЕ КОЛО

СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

З ЄМНІСНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ

Розглянемо електричну схему кола (рис. 6.13, а), яка містить джерело живлення однофазного синусоїдного струму та навантаження у вигляді конденсатора.

Нехай напруга на навантаженні гармонічна і змінюється за синусоїд­ним законом

и - U_m sinco/.

Оскільки заряд q = Си, накопичений на пластинах конденсатора, змі­нюється відповідно до змінення напруги, в електричному колі встановить­ся змінний синусоїдний струм

^{' = f = = І{СІ]™ 5ІПЮ') = ЮС£/- СОШ' = 7т 5І"(Ю? + f )}

де І_т = aCU_m — амплітудне значення струму в електричному колі.

Поділивши ампліту­ди величин на л/2, отри­маємо струм у колі від­носно діючих значень величин

звідки закон Ома для ділянки кола з індук­тивністю становить

и

^хс

соС

де х_с

реактивний ємнісний опір, що враховує енергію

соС 2тс/С

електричного поля, накопичену на пластинах конденсатора від джерела живлення, і має назву ємнісного опору. Одиниця його — ом (Ом).

Порівнюючи вирази струму /= /_тбіп^со/ + і напруги и^(/_т5Іп(мі,

можна встановити, що в електричному колі синусоїдного струму з наван­таженням у вигляді конденсатора напруга на ньому і струм перебувають у квадратурі, причому напруга відстає від струму в часі на чверть періоду

(А/ = 7'/4), або на кут зсуву |. Кут зсуву вектора струму відносно вектора падіння напруги на конденсаторі, або кут зсуву по фазі,

ф = _¥ы-\|/_/=0-₂=-₂<0.

Часові діаграми для розглянутої схеми наведено на рис. 6.13, б. Величину, обернену ємнісному опору,

1

X

с

називають реактивною ємнісною електричною провідністю. Одиниця — си­менс (См).

Стосовно опору і провідності закон Ома набирає вигляду виразів, які враховують діючі значення напруги і струму

и

ь_си

або одночасно модуль і фазу величин, якщо вони записані у комплексній формі, тобто

_{} =} _и_ _{= =} д. С ₌ и^Ь_с^ = /е^»^+90о).

"Ас х_се ^у'⁹⁰

У цих виразах (-ух_с) і (]Ь_С) — відповідно комплексний ємнісний опір та його провідність, що забезпечують автоматичне повертання вектора струму відносно вектора напруги на кут 90° проти часової стрілки.

Миттєва потужність

сїі сіі

з одного боку, характеризує швидкість перетворення конденсатором енергії джерела живлення на енергію електричного поля, а з другого — ЇЇ коли­вання

/? = Ш' = 6^г_т8ІПС0/-/_т8Іп|с)/+ = 4їи 5ІПС0/ ■ 4ЇІ с08 ш = 67 віп (2 ш).

Аналіз виразу потужності дає змогу встановити, що миттєва потужність змінюється з подвійною кутовою частотою 2со порівняно з кутовою час­тотою (о напруги та струму, а також коливається в межах 0< р<Р_т, де Р_т = ±Ш — амплітудне значення потужності.

Позитивному значенню потужності відповідає створення електрично­го поля між пластинами конденсатора за рахунок джерела живлення, а негативному — повернення накопиченої енергії електричного поля кон­денсатора джерелу живлення, яке стає на деякий час споживачем енергії.

Для зручності змінну потужність/; замінюють еквівалентною незмінною потужністю Р, виходячи з умови їхньої рівності за період споживання елек­трики, тобто

Т

РТ = } рсії,

о

звідки

т т

Таким чином, у ємнісному електричному колі відбувається безперерв­ний процес обміну енергією між джерелом живлення та конденсатором без витрат її у вигляді теплоти. Тому, щоб кількісно оцінити інтенсивність обміну енергією, вводять поняття реактивної ємнісної потужності С?_с, ВАр, якій надають значення амплітуди миттєвої потужності:

0_с=Ш = ^и1 =2к/С[/². ^ХС

Реактивну ємнісну потужність обирають зі знаком мінус, який врахо­вує той факт, що реактивні струми в ємності та індуктивності протифазні.

Часові діаграми потужності й струму у навантаженні наведено нарис. 6.14, я, векторну діаграму струму і падіння напруги на конденсаторі, з якої

в

идно, що кут зсуву векторів ф = -90°, — нарис. 6.14, б. Струм, який випе­реджає напругу на кут ф = -90°, називають реактивним розмагнічувальним струмом.

6.8. СКЛАДАННЯ СИНУСОЇДНИХ ЕЛЕКТРОРУШІЙНИХ СИЛ, НАПРУГ І СТРУМІВ. ПРАВИЛА К1РХГОФА ДЛЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Розглянемо вузол електричного кола (рис. 6.15), в якому сходяться три гілки з миттєвими значеннями струмів і\, і₂ та/V Нехай миттєві значен­ня струмів і_{, і₂ задано як тригонометричні функції:

і^ =лІ2 -Збіпсо/;

і₂ =-Л-4зіп(оз/ + 90⁰)_>

або у вигляді часових функцій (рис. 6.16, а), векторів (рис. 6.16, б) чи комп­лексних чисел: І_{ =ЗА, /₂ = у"4./І, де числа 3 та 4 — діючі значення струмів, вимірювані амперметрами А1 ІА2 (рис. 6.15).

Загальний струм, значення якого вимірюють амперметром АЗ, можна визначити відносно миттєвих значень струмів /_1} і₀ у вигляді алгебричної суми

і АЗ,

' з ^—' і ■

^ГА1

А2

Цю суму можна визначити: • як тригонометричну

/₃ = -Л-ЗвітіШ + лІ2 Чвіп(сог + 90°) - ^2 ^іп(сої + 53°);

• я к суму синусоїд /| та і₂ на часовій діаграмі (рис. 6.16, а);

• як суму векторів на векторній діаграмі 7₃^/₁ + Т₂ (рис. 6.16, б);

• як суму комплексних значень струмів /₃ = 7₁ + /₂ =3 + ;'4 = 5е-^/52і°, де дію­че значення струму /₃ = л/з² + 4² = 5, а початкова фаза \|/₃ = 1«~^[ -| = 53°.

Таким чином, в електричних колах однофазного синусоїдного струму діюче значення суми струмів залежить від кута зсуву між ними внаслідок неодночасного настання їхніх максимумів. Якщо струми /_І5 І₂ збігати­муться за фазою, то /₃ =3 + 4 = 7 А, якщо протифазні, то /₃=3-4 = -1 А. Підсумовуючи, можна встановити, що діючі значення синусоїдних вели­чин знаходять як векторну або комплексну суму, а тому правила Кірхгофа визначаться залежно від форми подання величин:

• для миттєвих значень їх

1) перше правило — алгебрична сума миттєвих значень струмів у вузлі

р

електричного кола дорівнює нулю: £ і_к - 0, де к — номер гілки, що нале­жить вузлу кола,/) — загальна кількість гілок вузла кола;

2) друге правило — алгебрична сума миттєвих значень падінь напруги на споживачах замкненого електричного кола дорівнює алгебричній сумі

т т

миттєвих значень електрорушійних сил, що діють у колі: £ = £ V Д^е

п — номер споживача у колі; т — кількість споживачів та джерел у замкне­ному колі; д — порядковий номер джерела живлення;

• для векторів (комплексів) їхніх значень

1) перше правило — векторна (комплексна) сума значень струмів у вузлі

р _ р .

електричного кола дорівнює нулю: £ І_к =0, 2] = 0;

к=і к=і

2) друге правило — векторна (комплексна) сума падінь напруги на спо­живачах замкненого електричного кола дорівнює векторній (комплекс­ен _ т _

^{ній) сумі значень електрорушійних сил, що діють у колі: £ ^п = е ^>}

е V п ~ x Ед ■

Тому на схемах електричних кіл синусоїдного струму над величинами напруг і струмів ставлять риску, на векторних діаграмах — крапку як озна­ки відповідно векторів та комплексів.

6.9. ПОСЛІДОВНЕ І ПАРАЛЕЛЬНЕ З'ЄДНАННЯ ІДЕАЛЬНИХ ЕЛЕМЕНТІВ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Повний опір. Еквівалентну схему електричного кола, в якому до джере­ла напруги змінного струму послідовно приєднано ідеальні елементи з опорами — активним г, індуктивним х_х і ємнісним х_с, наведено нарис. 6.17,а.

Щоб визначити струм у колі при послідовному з'єднанні цих елементів, необхідно прикладену напругу поділити на суму опорів г, х_ь, х_с, але при цьому треба знати, як підсумовувати якісно різні опори. Однак якщо при­пустити, що значення струму кола відоме, то падіння напруги на опорах

Рівняння електричної рівноваги, складене для електричного кола на основі другого правила Кірхгофа та з урахуванням обраного напрямку обходу контуру за часовою стрілкою, матиме вигляд виразів у векторній

^{и = иа+иу+ис}

а бо у комплексній формі

Для того щоб розв'язати задачу з визначення струму, скористаємося побудовою для схеми кола векторної діаграми струму та напруг. За базовий вектор беремо струм і довільно у відповід­ному масштабі відкладаємо його в напрямку осі дійсних чисел на комплексній пло­щині (рис. 6.17, б). Комп­

^{и = иа+и1+ис.}

и

хс

а

лексні значення напруг на опорах також у відповідному масштабі будує­мо, дотримуючись рівняння напруг і з урахуванням характеру опорів.

Аналіз трикутника напруг и, й_а, й =й_ь + й_с доводить, що діючі значення напруг становлять

звідки активну і реактивну складові напруги можна визначити за відомим значенням напруги джерела живлення, тобто

U_a = V coscp; ^^-Ui^—Uq = U sin ер.

З діаграми видно, що вектори падіння напруг U_L та U_c протифазні й частково компенсують один одного, а вектори напруг U_a, U, 0 утво­рюють прямокутний трикутник, в якому <р -кут зсуву вектора струму / відносно прикладеної напруги U. Поділивши складові векторів діаграми па силу струму, отримаємо діаграму опорів (рис. 6.18, в), на якій:

І ' і.

задані на початку значення опорів;

x^x_L-x_c

І

спільне значення реактивного опору електричного

кола; Z

U [

повний, або власний, опір електричного кола.

Як видно з діаграми (рис. 6.18, а), опори Д г, х утворюють прямокут­ний трикутник опорів, з якого випливає, що повний опір електричного кола визначається так;

звідки активний і реактивний опори можна визначити за відомим зна­ченням повного опору:

г = Zcosф; х-х^- х_с = Zsm ф.

З діаграми видно, що опори ^А1 ^{та х}с протифазні й частко­во компенсують один одного. Отже, згідно із законом Ома для електричного кола струм у колі

У згорнутому вигляді схема кола матиме вигляд, як на рис. 6.18, б. Якщо у вираз другого правила Кірхгофа II - ІІ_ІІ + й_ь + и_с підставити розгорнуті значення напруг, то отримаємо

* # * * +

II = гІ + /х_ь І-]х_с 1 = 21,

де 2 - /■ + у(Ч - х_с) — комплексний опір кола. Звідси закон Ома для елек­тричного кола у комплексній формі, який одночасно враховує і модуль, і аргумент величини:

Аргумент комплексного опору

с

X

модуль

|г-^/Лф_ь-х_су

Таким чином, уразі послідовного з'єднання опорів у електричному колі синусоїдного струму напругу джерела живлення визначають як векторну або комплексну суму напруг на окремих його елементах (трикутник на­пруг). Повний опір електричного кола визначають векторним або комп­лексним підсумовуванням опорів окремих елементів (трикутник опорів). Струм кола залежить від його повного опору. Кут зсуву між струмом і на­пругою джерела живлення залежить від співвідношення реактивного та активного опорів електричного кола.

Повна провідність. Еквівалентну схему електричного кола, в якому до джерела напруги змінного струму приєднано паралельно ідеальні елементи з опорами — активним з провідністю #, індуктивним з провідністю і\ і ємнісним з провідністю Ь_с, наведено на рис. 6.19, а. Провідності реак­тивних елементів становлять відповідно Ьі = 1/л^ та Ь_с - 1/х_с.

О скільки напруга живлення на кожній гілці однакова, то струми в гілках

Хі

Рівняння електричної рівноваги, складене для вузла електричного кола на підставі першого правила Кірхгофа та з урахуванням довільно обрано­го напрямку струмів, матиме вигляд виразів у векторній формі

або у комплексній формі

• * « *

^{/ = /}а + 'і+'с-

Щоб розв'язати задачу з визначення струмів, скористаємося побудо­вою для схеми кола векторної діаграми напруги та струмів. Базовим век­тором оберемо напругу і довільно у відповідному масштабі відкладемо його в напрямку осі дійсних чисел на комплексній площині (рис. 6.19, б). Комп­лексні вирази для струмів гілок також у відповідному масштабі побудує­мо, дотримуючись рівняння струмів і з урахуванням характеру опорів.

Аналіз трикутника струмів /, /_а, /_р = /₁_ + /_с доводить, що діюче зна­чення струмів можна визначити за рівнянням

звідки активний і реактивний струми можна визначити за відомим зна­ченням сили струму джерела живлення, тобто

/_а = /созср;

З діаграми видно, що вектори реактивних струмів \ і І_с протифазні й частково компенсують один одного, а вектори струмів ї_а, І, І утворю­ють прямокутний трикутник, в якому ф — кут зсуву вектора струму 7 від­носно прикладеної напруги І/. Розділивши складові векторів діаграми на

напругу джерела живлення, отримаємо діаграму провідностей (рис. 6.20, а) на якій: ' '

З^І/' ^ ⁼ 7у~' ^С~~у ~~ задані на початку провідності;

Ь-Ь^-Ь_с = у — еквівалентна реактивна провідність електричного кола;

У = — повна провідність електричного кола.

Як видно з діаграми (рис. 6.20, а), провідності Ь утворюють прямо­кутний трикутник провідностей, з якого випливає, що повна провідність електричного кола

У = ^²+Ь² = ^²+(Ь₁~Ь_с)²,

звідки активну і реактивні про­відності можна визначити за ві­домою повною провідністю так:

g = КсоБср;

° = К~^ЬС = ^ІПф.

З діаграми видно, що провід­ності \ та Ь_с протифазні й част­ково компенсують одна одну.

Отже, згідно із законом Ома для електричного кола струм у колі

У згорнутому вигляді еквівалентну схему кола наведено на рис. 6.20, б. Якщо у вираз першого правила Кірхгофа / = /_а+^⁺^С підставити роз­горнуті вирази струмів, то отримаємо

і = ₈и-]Ь₁и+]Ь_си = тгй,

де Y = g-j{b_L-b_c)— повна провідність кола у комплексній формі. Звідси закон Ома для електричного кола у комплексній формі, який одночасно враховує і модуль, і аргумент величини:

і = иї.

Аргумент комплексної провідності

модуль , -

Таким чином, у разі паралельного з'єднання ідеальних елементів у елек­тричному колі синусоїдного струму струм джерела живлення визначають як векторну або комплексну суму струмів на окремих його гілках (трикут­ник струмів). Повну провідність електричного кола визначають як век­торне або комплексне підсумовування провідностей окремих гілок (три­кутник провідностей). Сила струму кола залежить від його повної провід­ності. Кут зсуву між струмом і напругою джерела живлення залежить від співвідношення реактивної та активної провідностей електричного кола.

6.1b. ПОТУЖНОСТІ ТА ЕНЕРГЕТИЧНІ ПРОЦЕСИ В КОЛАХ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Якщо складові діаграм напруг і струмів (див. рис. 6.17, б і 6.19, б) щодо нерозгалуженого та розгалуженого електричних кіл помножити на струм джерела / або його напругу U, то відповідно до схеми отримаємо діагра­ми потужностей (рис. 6.21).

На діаграмах потужностей прийнято позначення:

P = VJ~ I_aU — активна потужність джерела живлення, яка перетво­рюється на теплову енергію на активному опорі, Вт;

О_л ~[/_L/ = /_LU — реактивна індуктивна потужність джерела живлен­ня, яка накопичується у вигляді енергії магнітного поля котушки індук­тивності, ВАр;

Q_c = U_cl - I_QU — реактивна ємнісна потужність джерела живлення, яка накопичується у вигляді енергії електричного поля конденсатора' ВАр;

0 = (2_L -Q_c — залишок реактивної потужності, якою найбільш ваго­мий реактивний опір обмінюється з джерелом живлення, навантажуючи дроти реактивним струмом, ВАр;

S = Ш — повна потужність, В ■ А.

Потужності Р, Q, Sутворюють прямокутний трикутник, з якого випли­ває, що повна потужність електричного кола

S^Jp^Q² ^p²HQ_h-Q_c)\

звідки активну і реактивну потужності можна визначити за відомою пов­ною потужністю:

Р = S cos ф = 67 cos ф;

Q = Ql~Q_c= S sin ф = VI sin ф.

З діаграми видно, що реактивні потужності Q_L та Q_c протифазні й частково або повністю компенсують одна одну.

Отже, в електричних колах синусоїдного струму в кожний його період відбуваються безповоротне споживання енергії джерела живлення, коли­вання (обмін) енергії між котушкою індуктивності та конденсатором і коливання енергії між джерелом живлення та найбільш вагомим реактив­ним опором. Повну потужність електричного кола визначають як вектор­не або комплексне підсумовування активної і реактивної потужностей (трикутник потужностей).

Повна потужність Б-III узагальнено враховує струм і напругу ділян­ки електричного кола і не визначає, наскільки ефективно перетворюєть­ся спожита енергія джерела живлення на кори сну роботу. Наприклад, якщо в електричному колі немає споживача активної потужності, тобто Р = 0, а є реактивні споживачі, то повна потужність кола £-(2>0, незважаючи на те, що джерело живлення не виконує корисної роботи.

Фізичною величиною щодо ділянки електричного кола змінного стру­му, яка визначає ступінь корисного використання у ньому напруги і стру­му, прийнято коефіцієнт потужності

Я

к видно з виразу, чим ближче коефіцієнт потужності до одиниці, тим менші негативні коливання реактивної потужності в електричній мережі живлення та джерелі живлення.

Крім коефіцієнта потужності в електричному колі змінного струму ви­користовують поняття коефіцієнта корисної дії

Р_{2 =} Р₂ Р Р₂ і АР'

де Р₂ — корисна активна потужність; АР —втрати активної потужності в електричному колі.

Здебільшого під час розрахунку електричних кіл змінного струму ви­никає потреба у визначенні повної потужності та її складових щодо на­пруги та струму, поданих у комплексній формі. При помноженні двох комп­лексних чисел їхні аргументи (початкові фази) підсумовуються, і в цьому разі отриманий результат буде негативним. Оскільки при помноженні комплексів напруги і струму слід враховувати кут зсуву між ними, то для спрощення процедури введено поняття комплексної повної потужності:

^ = 01, де / — комплексний спряжений струм. Наприклад, якщо (і = £/е^УМ/", / = /е^Л|,/ і / = Іе~-^Л|/', то комплексна повна потужність

і в цьому разі математичні перетворення не суперечать фізичній суті.

6.11. ВПЛИВ СПІВВІДНОШЕННЯ ІНДУКТИВНОСТІ ТА ЄМНОСТІ НА ПРОЦЕСИ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ. РЕЗОНАНСИ

Розглянемо еквівалентне електричне коло (рис. 6.22) з послідовним з'єднанням ідеальних елементів з опорами — активним г, індуктивним і ємнісним х_с. Опори реактивних елементів відповідно л^=2тс/Х та

Дс = і/(2*/С).

Оскільки еквівалентний реактивний опір кола х = х^-~ х_с, то за впли­вом на джерело живлення його можна замінити зведеною еквівалентною схемою, складеною з двох опорів — активного і реактивного.

Розглянемо випадок, коли х^ >х_с. В цьому разі еквівалентний опір кола має активно-індуктивний характер (рис. 6.23, а) і струм джерела І відстає від його напруги (Уна фазовий кут 0° < ер < 90° (рис. 6.23, б). Ділян­ка кола відносно джерела живлення характеризується споживанням ак­тивної потужності Рта реактивної індуктивної 0^.

Якщо співвідношення реактивних опорів х^ <х_с, то еквівалентний

опір кола має активно-ємнісний характер (рис. 6.24, а) і струм джерела / випереджає його напругу II на фазовий кут -90°<ср<0° (рис. 6.24, б). Ділянка кола відносно джерела живлення характеризується споживанням активної потужності Рта, реактивної ємнісної {2^.

І лише у разі, коли х^ = х_с> еквівалентний опір кола, незважаючи на наявність у ньому реактивних опорів, дорівнює нулю (рис. 6.25, а) і струм джерела/збігається з його напругою (І за фазою, тобто ер = 0° (рис. 6.25, б). Ділянка кола відносно джерела живлення характеризується споживанням лише активної потужності Р.

Я вище в електричному колі, яке містить послідов- / но з'єднані елементи з ре- »^ активними індуктивним і ємнісним опорами і в яко­му фазовий кут зсуву стру- ^а му відносно напруги дже­рела живлення дорівнює ну-

лю, називають резонансом напруг.

У разі резонансу напруг реактивні потужності рівні між собою: 0^ = £?_с , тобто котушка індуктивності й конденсатор безперервно обмінюються потужністю між собою, не залучаючи в процес обміну джерело живлення.

Іноді явище резонансу напруг використовують, щоб отримати підси­лювачі напруги незначної потужності. Так, відношення напруги на котушці індуктивності до напруги джерела живлення при резонансі

^и\. ..^и\. _ ^/хі. _^хі. V /У„ їг г "

а

Я_Кщо_У„ * >,, _ТОІ £ _{тобтаНапруган}а_{ВНутріШ}„,_ХРеа_КТИ,

них опорах може перевищувати прикладену напругу джерела живлення. Повний опір кола при резонансі напруг

і може бути значно меншим від його складових — реактивних опорів. Отже, струм в електричному колі при резонансі напруг досягає максимуму:

'тах 2" f '

При цьому неважливо, яким чином досягається резонанс — обранням відповідної індуктивності котушок і ємності конденсаторів

(üL - 1/(соС)

чи пошуком резонансної частоти струму джерела живлення при їх не­змінних значеннях

to₀ = i/VZc.

Оскільки при резонансі напруг у схемі електричного кола, наведеній на рис. 6.22, струм / = Vir, то напруги на реактивних елементах

t/_c=C/₁.=co_üi/=⁽°Oⁱf/.

Звідси величина О =

, що має назву добротності резонанс-

г г

ного контуру, показує, у скільки разів напруга на реактивному опорі пере­вищує напругу на вході схеми у резонансному режимі.

Величину р = ()г називають характеристичним опором.

Розглянемо еквівалентне електричне коло (рис. 6.26) з паралельним з'єднанням елементів з ідеальними провідностями — активною # = ]//-, реактивною індуктивною = \/(2п/Ь) і реактивною ємнісною Ь_с = 2п/С.

Оскільки еквівалентна реактивна провідність кола становить & - ^ - £>_с, то за впливом на джерело живлення її можна замінити зведеною еквівалент­ною схемою, складеною з двох провідностей — активної і реактивної.

Розглянемо випадок, коли Ь₁_>Ь_С. В цьому разі еквівалентна провід­ність кола має активно-індуктивний характер (рис. 6.27, а) і струм джере­ла / відстає від його напруги II на фазовий кут 0° < ер < 90° (рис. 6.27, б). Ділянка кола відносно джерела живлення характеризується споживанням активної Рта реактивної індуктивної ()^ потужностей.

Якщо співвідношення реактивних провідностей Ь_{ <<6_С, то еквівален­тна провідність кола має активно-ємнісний характер (рис. 6.28, а) і струм джерела / випереджає його напругу і) на фазовий кут -90°<ф<0° (рис. 6.28, б). Ділянка кола відносно джерела живлення характеризується спо­живанням активної Рта реактивної ємнісної 0_С потужностей.

І лише уразі, коли -Ь_с, еквівалентна провідність кола, незважаючи на наявність у ньому реактивних провідностей, дорівнює нулю (рис. 6.29, а), і струм джерела / збігається з його напругою V за фазою, тобто ф = 0° (рис. 6.29, б). Ділянка кола відносно джерела живлення характеризується споживанням лише активної потужності Р.

и

^{I /а 1} її. \ЇС}

Рис. 6.26

и

2^ «—*

	1 ^СО
	и
-1 0
-/	і х
	0
Рис. 6.27

и

8

а

+і	/ \ф<о\» X \ 0
-1 0		+і
-/		б
Рис. 6.28

и

а

■1 0

9 = 0,

0)

/ и

+ І

Явище в електричному колі, яке містить паралельно з'єднані елементи з реактивними індуктивними та ємнісними провідностями і в якому фа­зовий кут зсуву струму відносно напруги джерела живлення дорівнює нулю, називають резонансом струмів.

У разі резонансу струмів реактивні потужності рівні: 0_]и=0_с, тобто котушка індуктивності й конденсатор безперервно обмінюються потуж­ністю між собою, не залучаючи в процес обміну джерело живлення.

Іноді явище резонансу струмів використовують, щоб отримати підси­лювачі струму незначної потужності. Так, відношення струмів у гілці з ко­тушкою індуктивності до струму джерела живлення при резонансі

Якщо і > 1 то і ^- > 1, тобто струм у гілках з реактивними провідно-8 ' ¹

стями може перевищувати загальний струм джерела живлення. Повна провідність кола при резонансі струмів

і може бути значно меншою від її складових — реактивних провідностей. Отже, струм в електричному колі при резонансі струмів досягає мінімуму

/„ь, =«/!' = £*•

При цьому неважливо, яким чином досягається резонанс — обранням відповідної індуктивності котушок і ємності конденсаторів

соС = 1/соІ

чи пошуком резонансної частоти струму джерела живлення

оз₀ = і/ чЬС.

Оскільки електричні кола можуть мати будь-яку кількість реактивних елементів, з'єднаних за будь-якою схемою, то для пошуку резонансних частот, які мають бути у колі, необхідно:

1. Скласти рівняння повного опору кола у комплексному вигляді від­носно джерела живлення.

2. Прирівняти вираз повного опору до нуля та розв'язати його відносно кутової частоти. Знайдені кутові частоти будуть резонансними за напругою.

3. Скласти рівняння повної провідності кола у комплексному вигляді відносно джерела живлення.

4. Прирівняти вираз повної провідності до нуля та розв'язати його відносно кутової частоти. Знайдені кутові частоти будуть резонансними за струмом.

5. Першою резонансною частотою в електричному колі буде частота за струмом, якщо у колі є шлях для протікання постійного струму.

6.12. ДОСЛІДЖЕННЯ РОБОТИ НЕРОЗГАЛУЖЕНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ В РАЗІ ЗМІНЕННЯ ЧАСТОТИ ДЖЕРЕЛА ЖИВЛЕННЯ

Розглянемо еквівалентне електричне коло (рис. 6.30), в якому величи­ни г, £, С, {} незмінні, а кутова частота со змінного струму джерела жив­лення змінюється в широкому діапазоні.

Проаналізуємо характер змінення струму і напруг на реактивних опо­рах залежно від кутової частоти.

Згідно із законом Ома струм електричного кола

и и 1

У разі змінення кутової частоти со змінюється реактивний опір елек­тричного кола х = со£- і/(соС), тобто якщо кутова частота ю-»0, то реак­тивний опір х ->оо і струм кола /->0. Якщо кутова частота со = со₀ = = \/4~Ес є резонансною, то реактивний опір кола х-0 і струм кола І =11/г. Якщо со -» «з, то реактивний опір кола х -» оо і струм кола / -» 0.

0

Н апругу на котушці індуктивності для будь-якої кутової частоти визна­чають так:

с/_ь =<х>и =и

Якщо кутова частота со-» 0, то напруга на індуктивності (У_т = 0. Якщо со-»оо, то напруга 11^-^11. Аналізуючи характер змінення виразу напру­ги на індуктивності або ємності залежно від добротності контуру, можна визначити, що при (2>\/^І2 амплітудна характеристика с7_І =/(ю) про­ходить через максимум, а при 0 < і/л/2 — за асимптотою наближається до напруги живлення и_]_=С/.

Якщо кутова частота со-»0, то напруга на ємності с7_с = //(шС) набли­жається до напруги живлення V. Якщо со->оо, то с7_с->0._

Амплітудно-частотні характеристики струму і на­пруг на реактивних опорах залежно від кутової часто­ти джерела живлення наведено нарис. 6.31.

З рисунка видно, що максимуми напруг на індук­тивності Ц_ь і ємності и_с будуть при частотах, які не

дорівнюють резонансній частоті со₀ = l/^/Zc. Макси-82

м уму U_L відповідає частота co_L > >со₀, а максимуму U_l: — часто-

2

та с0_с < OJq, ДЄ c0_l = COq

со_с - сод/со_ь. Залежність стру­му / = /(со) наведено для двох значень добротності контуру о,. Більшій добротності відповідає менше значення активного опо­РУ-

Смугою пропускання резо­нансного контуру називають

с

со

О

на

мугу частот со^ — со₂ — ^ , межах якої відношення Іг/И = 0,707. Межові частоти при цьому

^ю1,2 ⁼

2Q

(Vl + 4(2+l)

6.13. ЕКВІВАЛЕНТНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ В ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Оскільки будь-який споживач електричної енергії можна подати у ви­гляді послідовної або паралельної еквівалентної схеми, то розглянемо по­рядок переходу від однієї еквівалентної схеми до іншої і навпаки.

Послідовну і паралельну еквівалентні електричні схеми споживача елек­троенергії наведено на рис. 6.32, де напруга uта струм / відповідають ділянці кола, не зачепленій перетвореннями.

Оскільки перетворення на ділянці кола вважають еквівалентними за умови, що струми і напруги на ділянках кола, не зачеплених перетворен­нями, мають залишитись однаковими в обох схемах, можна записати:

1) виходячи з однаковості напруги живлення кола і його струму (u/f = const), отримаємо

Z = U/I — повний опір, або Z = 1/Т;

у = і/и — повна провідність, або ї = 1/Z;

2 ) виходячи з рівності активних потужностей (Р = const), отримаємо

3) виходячи з рівності реактивних по­тужностей (0 = const), отримаємо

и

а

g

_{Q = bU2, де Ь = *К}

2'

У

х

-2 '

Рис. 6.32 Таким чином, в електричних колах си-

нусоїдного струму елементи з реактивни­ми опорами і провідностями, з'єднані на ділянці кола послідовно або па­ралельно, не обернені один одному

Із закону Ома в комплексній формі випливає:

• / * * / •

І^и/1- у^і/и.

¥ = ■

Якщо під час перетворення напруга і струм на вході кола однакові за значенням, то можна записати

Z^L z¹

і_ - І г + }х _ г + ]х

'~~~г2

Z r + jx (r±jx)(r + jx) _r2 ₊ x^:

тобто повний опір 2 еквівалентного електричного кола обернено про­порційний провідності У або навпаки. При цьому автоматично забезпе­чується перерахунок від активних і реактивних опорів до провідностей і навпаки.

6.14. ЗАГАЛЬНІ ВИПАДКИ З'ЄДНАННЯ СПОЖИВАЧІВ У КОЛАХ СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Еквівалентну електричну схему сукупності споживачів електричної енергії, приєднаних до спільного джерела живлення, можна подати у ви­гляді послідовного або паралельного з'єднання елементів з повними опо­рами (рис. 6.32) у згорнутому або розгорнутому вигляді (рис. 6.33, а, б).

Для послідовно з'єднаних споживачів з повними опорами Z₁, 2₂, 2_п при розрахунку кола їх подають у розгорнутому вигляді через складові опорів, тобто г_ь г₂,..., г_п\ х_и, х_Ь2, х^; х_сі, х_С2, .., х_с^ Оскіль­ки однакові за характером активні опори зумовлюють однакові процеси в електричному колі, то їх об'єднують:

п

^гекв ⁼ И ^гк-к=\

Аналогічно для реактивного опору

п п

^хекв - И, ^х^_к ~ x! ^хС_к> Ь=І к=\

д

и

ля повного опору

( п Л

{

_Игк

^екв

^{п п v Гг—г~}

Кут зсуву вектора струму відносно прикладеної до кола напруги

Ф

екв

п п

Л^хь_к-Ц ^хС_к

-1 _к=\ ^к _к=і ^к

п

_Игк

к=\

Аналогічні перетворення здійснюють і в разі паралельного з'єднання споживачів (рис. 6.34, а, б).

Для паралельно з'єднаних споживачів з повними провідностями ¥_х, У₂, • ■ - , У„ при розрахунку кола їх подають у розгорнутому вигляді через складові провідностей, тобто #_1? £2>"-> 8п> ^Ь2> •••» ' *С1>

^С2>---> &е • Оскільки однакові за характером активні провідності зумов­люють однакові процеси в електричному колі, то їх об'єднують:

п

& екв

Аналогічно для реактивної провідності

п п

*=1

£=1

для повної провідності

( ^{п П} ^\ Г~2 2~

Ик_к ~Т,^ЬС_к ^екв+^екв-и=1 к=1 )

Кут зсуву вектора струму відносно прикладеної до кола напруги

Фекв = *ё'

1 /с=І

п

Тёк

к=\

6.15. РОЗРАХУНОК ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ ОДНОФАЗНОГО СИНУСОЇДНОГО СТРУМУ

Електричні кола можна розраховувати як за діючими значеннями струмів і напруг, так і в комплексній формі.

Розглянемо розгалужену схему електричного кола (рис. 6.35, я), скла­дену з двох паралельних гілок. Нехай діюче значення напруги джерела живлення синусоїдного струму становить II. Під впливом цієї напруги в гілках електричного кола потечуть і встановляться струми, діючі значен­ня яких /_скв, /_ь /₂.

Розрахунок кола, тобто струмів у гілках, розпочнемо з визначення мо­дулів їхніх повних опорів:

Z

₄

2 2 ^Г2 ^{+ Х}С2

₁

К

_і,

+ хТ г, X-

На наступному етапі визначимо діючі значення струмів у гілках кола та фазовий кут зсуву струмів відносно діючої напруги:

Фі

Для того щоб визначити еквівалентний струм /_екв, скористаємося побу­довою векторної діаграми струмів і напруги (рис. 6.35, б). Для цього обере­мо за базовий вектор діючу напругу V і відкладемо його довільно у на­прямку осі абсцис. Згідно з обраним масштабом щодо струмів відкладемо

в ектори струмів /[, ї₂ під кута­ми ф[ і ф₂ відносно вектора на­пруги. Еквівалентний струм /_екв визначимо за першим правилом Кірхгофа як векторну суму стру­мів У_екв = /| +1₂. Еквівалентний кут зсуву ф_екв визначимо також з векторної діаграми, вимірявши

За знайденими струмами визначимо потужності як окремих гілок, так і всього кола:

повні потужності гілок Si = Uli, Sj - UJ₂,

активні потужності гілок Р_{ = Ul\ coscp^ Р₂ - UI₂ cosq>₂;

реактивні потужності гілок Q_Ll — £//j sinfpj, Qq₂ -U/₂sm(p₂;

повна потужність кола S_QKB = £#_екв;

активна потужність кола Р_екв = UI_CK0 coscf)_CKB = P_v + Р₂;

реактивна потужність кола Q_CKB = Ш_скв sin (р_скв = О_и + Q_C2.

З векторної діаграми видно, що модуль діючого еквівалентного струму /_екв </j + /₂. Тому Ш_скп <UJ[ -\-Ui₂ і, як наслідок, 5_СКВ <S_X -\-S₂. Отже, в

електричних колах змінного струму дійсні два рівняння балансу потуж­ностей:

п

екв

активних Я„„ ~Y*Pk> k=\

р

п п k=l k=\

еактивних 0_екв

Баланс повних потужностей для діючих значень струмів і напруг не

виконується, оскільки Л"_скв -А £

к=\

Слід зазначити, що побудова векторної діаграми для визначення екві­валентного струму джерела живлення необов'язкова. Оскільки кожний вектор струму можна подати у вигляді його складових по осях коорди­нат — активної складової, що збігається з віссю абсцис, та реактивної скла­дової, яка збігається з віссю ординат, отримаємо:

• складові струму І_{ — активна /_Іа = /) со5ср_І5 реактивна /_1р = /^тср^

• складові струму І₂ ~~ активна /_2а - 1₂ соБф₂, реактивна /_2р - 1₂^т<^₂.

У цьому разі еквівалентний струм і фазовий кут його зсуву відносно напруги джерела живлення визначають так:

I^і - І² -'екв.а ~ ^екв.р >

■Ті-

к=\

п п

v^4-^lIf^ = ^

¹ екв.а

п

ТІак к=\

Розраховуючи електричне коло синусоїдного струму за допомогою комп­лексних чисел, одночасно враховують і модуль, і фазу струмів та напруг, а тому побудова векторної діаграми не обов'язкова.

™о^^

г_1=Гі+ ух_и = V*_; г₂ = г₂ - ух_С2 = ^е>2 і фазового кута зсуву струмів відносно діючої напруги

^{фор^°„^НОМ СТРУМИ ГШ0К —Рижого кода у комплексній}

/ / ₌и__ ; _ ; •

¹ г,^{? 2} ^' екв - Л + ^2-

і всь™лТ^{МИ С1РУМЯМИ ВИЗНаЧИМ0 П}™™ « окремих гілок, так повн, потужності гілок у комплексній форм, подання 5, = 61 = я ₊

по^пппт^„7;²"^УЄс2'^ДЄ/* -^компле^но спряжений струм-повна потужність навантаження джерела живлення у комплексній Форм, подання ^ = V /_екв = Р_{е№ +МЗт}. комплексна

Оскшьки дноний еквівалентний струм у комплексній формі / --/, + /₂, то і для спряжених струмів можна записати що / - і ₊ Ня.

наслідок отримаємо Л^т = .9. + 9 - V е с г-

екв ^ - 2, тобто баланс повних потужнос­тей у комплексній формі подання виконується.

Таким чином, можна зазначити що в електпиинт™ ^™ струму напруги, струми, опори проТппостів о^{Х Шн}У^С0^ото лексній формі подання допятп^гЛ ^{П0Ш1 п}°ТУЖності в комп-

му. И^^^^^І^ ^Само' ^{як 1} в кодах постійного стру-символічний Усі метопи пі? ^{У СКЛадних юл} синусоїдного струму 1 Розрахунку елекГи~

в комплексній формі подання. Постійний стрТм ^ЯК^_р^Р_л°³?^ахУ^{нки вес}™ нусоїдного струму, коли кутова частота Г= ₀ ^М ~ ^ВЙЩ0К °^И~

6.16. СПОСІБ ПОЛІПШЕННЯ КОЕФІЦІЄНТА ПОТУЖНОСТІ

пер^Га™™Ги^ ™ застосовуй

по мережі електропередачі

^{тивна /рЬ складові повного струму 1 = ^7^ (рис. 6.36).}

Рис. 6.36

Рис. 6.37

Активна складова струму /_а (рис. 6.37, а) забезпечує споживання елек­тричної енергії з мережі живлення та оцінюється активною потужністю Р = Ш_я=Шсо5Ц>. Реактивна індуктивна складова струму /_рЬ визначає коливання електричної енергії між джерелом живлення і навантаженням та оцінюється реактивною потужністю 0_Ь = ІІҐ_рЬ = ОТвіп ф. Повну по-

тужність споживача визначають як

^{S = yjP2 + ОІ і а коефіцієнт потужності}

costp - PfS. Реактивний індуктивний струм, який не утворює споживан­ня електричної енергії, додатково нагріває дроти електромережі й джере­ла живлення, збільшує падіння напруги в мережі живлення, зменшуючи його на затискачах споживача, що потребує збільшення перерізу дротів мережі живлення. Щоб усунути ці недоліки, необхідно позбавитись реак­тивного індуктивного струму енергоспоживача. Природний шлях його усунення — не застосовувати споживачів реактивної індуктивної потуж­ності або обмежити її. Штучний шлях — підімкнення паралельно наван­таженню компенсувальних конденсаторів певної ємності (рис. 6.36). У цьо­му разі реактивні індуктивний і ємнісний струми (7_pL і Iq) протифазні, а

тому частково або повністю компенсують один одного (рис. 6.37, б). По- вний струм споживача

т

Повна потужність і коефіцієнт потужності

обто в разі застосування компенсувальних конденсаторів індуктивність і ємність в електричному колі обмінюються реактивною енергією між со­бою без утягування в процес обміну джерела живлення, чим звільняють мережу живлення від реактивного струму. Джерело живлення у цьому разі використовують лише для вироблення і передачі активної електричної енергії, що підвищує його коефіцієнт потужності.

6.17. ІНДУКТИВНО ЗВ'ЯЗАНІ КОЛА

Символічний метод розрахунку електричних кіл синусоїдного струму дає змогу встановлювати залежності між електричними величинами в ко­лах з індуктивною залежністю. Розглянемо дві котушки індуктивності з магнітною залежністю (рис. 6.38, а), розміщені на феромагнітному осерді

Нехай до котушок індуктивності прикладено напруги, миттєві значення яких щ та и₂. Під дією напруг у котушках потечуть і встановляться стру­ми, миттєві значення яких /, = /_1тшш/ та і₂ = /_2т8Іп(а>/ + у). Згідно із

законом повного струму вони зумовлять намагнічувальні сили Я

р _ ⁷2т ^ ^1?

ґ₂ _ -^-^ де ^, ^ _ кількість витків у котушках індуктивностей.

На основі принципу суперпозиції кожна із намагнічувальних сил зу­мовить появу власних магнітних потокозчеплень ЧК, = А//^, ЧК₂ = е₂¹Я де /?_м = //(цц^) - магнітний опір середовища на шляху кожного магніт­ного потокозчеплення, і потокозчеплень розсіювання ЯГ, ч> які не беруть участі в побудові результуючого магнітного потокозчеплення обох котушок (Ч> = Ч*_х + 4*2) і зчеплені кожне лише з витками своєї котушки Згідно із законом електромагнітної індукції Е. X. Ленца власні магнітні потокозчеплення у котушках, струм яких сприяв їх появі, наведуть елек­трорушійні сили самоіндукції в цих самих котушках:

_4М)

оіі

оЬ_хІ_Хт со&ті;

ш₂

Оскільки власні магнітні потокозчеплення котушок пронизують витки сусідніх котушок, то вони також за законом електромагнітної індукції

Е. X. Ленца зумовлять у них появу електрорушійних сил взаємоіндукції М:

^{*мі == ~МІ^_соМ/2т со'(сй/+^}

З урахуванням означеного вище і за умови, що магнітні потокозчеп­лення обох котушок індуктивності спрямовані в одному напрямку (рис. 6.38, б), задругим правилом Кірхгофа рівняння електричної рівноваги кола (рис. 6.'з8, а), записані відносно миттєвих значень величин, отримаємо у вигляді

йі_х аі₇

и₂ = і₂г₂ -е_Ь2 -е_М2 = і₂г₂ ^Ч. --^ ^{+ м}-^-

Ця сама система рівнянь, але у комплексній формі подання напруг і стру­мів матиме вигляд

{)_х = }_х г_х + /сої, І_х + УсоМ ї₂; и₂ = І₂г₂+ ](лЬ₂І₂ + ;соМ І_х.