4. Уравнение Слуцкого.

В теории потребления основополагающую роль играет уравнение Слуцкого:

.

В левой части уравнения стоит частная производная от функции спроса по цене n-го товара. В роли n-го товара может выступать любой товар. Левая часть показывает отклик точки спроса на изменение цены n-го товара, при неизменных остальных ценах и доходе.

Вычитаемое состоит из двух множителей: – это отклик изменения точки спроса на изменения дохода ; – это величина спроса на n-ый товар.

Р ассмотрим уменьшаемое: при цене и доходе точка спроса была и обеспечивала определённую полезность. При изменении цены n-го товара на при прежних ос­тальных ценах и прежнем доходе точка спроса изменится и соответственно максимальная полезность тоже изменится. Изменим доход так, чтобы значение максимальной полезно­сти, которое дает новая точка спроса осталось неизмен­ным.

Составим отношение и перейдём к пре­делу. Если изменение цены будет стремиться к нулю ( ), тогда получим наше уменьшаемое: .

Геометрически это соответствует тому, что при изменении цены мы изменим доход так, чтобы остаться на той же линии полезности и получим новую точку спроса .

Остановимся на отдельных моментах содержания уравнения Слуцкого. При решении задачи оптимизации с помощью множителей Лагранжа были получены сле­дующие условия для точек максимума :

.

Функция полезности зависит от набора товаров, т. е. . Найдем . Учитывая (3), получим . Следовательно, для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы . Как при этом должен измениться доход?

или ;

, а поскольку , то имеем следующее соотношение: (4), также (5) – требуемое при изменении доходов.

При выводе уравнения Слуцкого получаются еще такие дифференциальные соотношения:

(6)

(7)

(8)

Рассмотрим содержательный смысл соотношений 3-7:

Третье соотношение связывает старые цены с пространством товаров. Из него следует, что пространство товаров носит сложный характер: количество некоторых товаров увеличивается, а некоторых уменьшается.

Четвёртое соотношение однозначно показывает, что при увеличении цены компенсация дохода имеет положительный характер, при уменьшении цены доходы также надо уменьшить.

Пятое соотношение показывает, что при подъеме цены товаров, его потребление падает даже при компенсации дохода.

Назовем n-ый товар ценным при т.е. если при повышении дохода этот товар продол­жает пользоваться спросом, и малоценным – в противном случае.

Шестое соотношение показывает существование ценных товаров, поскольку все значения не могут быть одновременно меньше нуля, так как . Предложим, что n-ый товар является цен­ным, и рассмотрим для него уравнение Слуцкого.

Так как товар является ценным, то , т.е. спрос на ценный товар при повышении цен уменьшается. Исключение составляют товары, носящие название товаров Гиффина, которые ха­рактеризуются обратным: при повышении цены на них повышается спрос.

Седьмое соотношение: поскольку и как было выяснено , то найдется какой-то і-й товар для которого т.е. потребление і-го товара возрастает при повышении цены на n-й товар при комплектующем изменении дохода. В этом случае, когда комплектующие изменения дохода не отрицательны, то i-й товар называется заменяющим товаром, т.е. для каж­дого товара есть его заменяющий. При этом имеется в виду лишь переключатель спроса с одного товара на другой при его подорожании, а вовсе не полная замена.

Пример 2.

Проверим, что уравнение Слуцкого верно для функции полезности .

Найдём функцию спроса:

Запишем уравнение Слуцкого в общем виде:

Запишем его теперь относительно второго товара:

Мы говорим об изменении цены на второй товар, т. е. у нас изменится ; при этом получится компенсация дохода или . Так как изменение цены на первый то­вар равно нулю, т.е. , то . Определим новую точку спроса:

Найдем .

Вместо подставляем и получим .

Перейдя к пределу, получаем