32. Свойства дисперсии.

ОПР.Дисперсией D[X] дискретной случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания, т.е. D[X]=М[X-M(X)]².

Теорема 6.2. Справедливы следующие свойства дисперсии случайной величины:

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(C)=0;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т.е. D(k∙X)=k^2∙D(X);

3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D(X+Y)=D(X)+D(Y);

4. Дисперсия дискретной случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: D(X)=M(X²)-[M(X)]²;

5. Для непрерывной случайной величины справедлива формула:

33. Понятие моды, медианы, начального и центрального моментов.

ОПР. Модой М_x (Мо(Х)) случайной величины Х называется ее наиболее вероятное значение (то, для которого вероятность p_i или плотность распределения f(x) достигает своего максимума).

Если дан закон распределения дискретной случайной величины, то мода М_x – это то значение Х, которое встречается в данной серии опытов чаще всего (то, у которого наибольшая вероятность).

Если задана непрерывная случайная величина Х, имеющая плотность вероятности f(x), то мода М_x – это центр того, элементарного интервала, для которого отношение частоты попадания в этот интервал к его длине, достигает максимума.

ОПР. Если случайная величина Х такова, что ее вероятность или плотность вероятности достигает своего максимума не в одной, а в нескольких точках, то распределение такой случайной величины называют полимодальным.

ОПР.Медианой x_m (Ме(Х)) непрерывной случайной величины Х называется такое ее значение, для которого P(X<x_m)=P(X>x_m)=1/2.

Геометрический смысл медианы заключается в том, что x_m – это абсцисса той точки на оси Ox, для которой площади фигур, расположенных под графиком плотности распределения, слева и справа от этой точки одинаковы и равны ½. Если же дана функция распределения непрерывной случайной величины Х, то медиана x_m – это та точка, в которой функция распределения равна ½, т.е. F(x_m)=1/2. Нужно заметить, что если распределение симметричное, т.е. график плотности вероятности имеет ось симметрии, то мода, медиана и математическое ожидание случайной величины совпадают.

ОПР.Начальным моментом k-того порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-той степени этой случайной величины: 𝜈_k=M[X^k].

ОПР. Центральным моментом k-того порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-той степени отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания, т.е. 𝜇_k=M[X-M(X)]^k.

Момент	Случайные величины
	дискретные	непрерывные
Начальный
Центральный

Нетрудно заметить, что при k=1 первый начальный момент случайной величины Х есть ее математическое ожидание, а при k=2 второй центральный момент, есть ее дисперсия.