34. Биномиальный закон распределения и его характеристики, пример.

ОПР. Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает значения 0, 1, 2, …, k, …, n с вероятностями P_n(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^n-k .

Из определения следует, что биномиальный закон распределения это закон распределения числа X=k наступления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с вероятностью p. X – это случайная величина, выражающая число успехов при n независимых испытаниях.

Закон биномиального распределения выглядит так:

xi	0	1	2	…	k	…	n
pi	(1-p)n	Cn1p(1-p)n1k	Cn2p2(1-p)n-2	…	Cnkpk(1-p)n-k	…	pn

Заметим, что распределение задано корректно, так как сумма всех вероятностей равна единице

Пример.В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распределения числа купленных пар обуви, изготовленной первой фабрикой. Найти мат. Ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение: Вероятность того, что случайно выбранная пара обуви изготовлена первой фабрикой, равна р=2/(2+3)=0,4. Случайная величина Ч – число пар обуви среди четырех, изготовленных первой фабрикой.

n=4, р=0,4. Ряд распределения имеет вид:

xi	0	1	2	3	4
pi	0.1296	0.3456	0.3456	0.1536	0.0256

Значения pi=P(X=k), (k=0, 1, 2, 3, 4)вычисленные по формуле .

M(X)=np=4*0.4=1.6, D(X)=npq=4*0.4*0.6=0.96

35. Геометрический закон распределения и его характеристики, пример.

ОПР. Дискретная случайная величина X имеет геометрическое распределение с параметром p, если она принимает значения 1, 2, …, k, … (бесконечное, но счетное число значений) с вероятностями P(X=k)=p(1-p) ^k-1.

Случайная величина X=k, имеющая геометрическое распределение, представляет собой k испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого успеха.

Закон геометрического распределения выглядит так:

xi	1	2	…	k	…
pi	p	pq	…	pqk-1	…

Определение геометрического распределения корректно, так как сумма ряда представляет собой сумму членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии и равна 1.

Теорема

1. Математическое ожидание случайной величины X, имеющей геометрическое распределение, равно M(X)= 1/p;

2. Дисперсия случайной величины X, имеющей геометрическое распределение, равна D(X)= (1-p)/p² ;

3. Среднее квадратичное отклонение случайной величины X, имеющей геометрическое распределение равно σ_x=√D(X)=√(1-p) ⁄p.

Пример. Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничений числа проверенных деталей). Составить закон распределения числа проверенных деталей. Найти его мат. ожидание и дисперсию, если известно, что вероятность брака для каждой детали равно 0,1.

Решение. Случайная величина Х – число проверенных деталей до обнаружения бракованной. р=0,1

xi	1	2	3	…	k	…
pi	0.1	0.1*0.9	0.1*0.92	…	0.1*0.9k	…

M(X)=1/P=1/0.1=10; D(X)=q/p² =0.9/0.1²=90