38. Ковариация и коэффициент корреляции, их свойства.

ОПР. Случайные величины X и Y называются независимыми, если их совместная функция распределения F(x,y) представляется в виде произведения функций распределения каждой из этих случайных величин, т.е. F(x,y)=F₁(x)∙F₂(y). Если это равенство не выполняется, то случайные величины называются зависимыми.

Из определения следует, что если случайные величины X и Y независимы, то справедливо равенство f(x,y)=f₁(x)∙f₂(y).

ОПР. Ковариацией (или корреляционным моментом) К_xy случайных величин X и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий: K_xy=M[(X-M(X))∙(Y-M(Y))].

Ковариация двух случайных величин характеризует, во-первых, степень зависимости их друг от друга, а во-вторых, рассеяние значений этих случайных величин вокруг точки (M[X], M[Y]).

Теорема.(закон больших чисел) Пусть случайные величины (Х₁, Х₂, ,,, Х_n ,,,) независимы в совокупности (попарно независимы любые k из них). Пусть все эти величины имеют одинаковые функции распределения и одинаковые мат. Ожидания: M(X_i)=a. Тогда для любого сколь угодно малого положительного ɛ верно равенство . Закон больших чисел означает, что вероятность отклонения выборочного среднего от мат. ожидания менее чем на ɛ, стремится к единице.

Теорема(закон больших чисел Чебышева) Пусть случайные величины (Х₁, Х₂, ,,, Х_n ,,,) независимы в совокупности (попарно независимы любые k из них) и имеют одинаковое мат. ожидания: M(X_i)=a. Пусть также все эти величины имеют одинаковые конечные дисперсии: D(X_i)=d. Тогда для любого сколь угодно малого положительного ɛ верно неравенство

Следствие. (Закон больших чисел Бернулли) Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p может наступить некоторое событие, исход которого связан со случайной величиной Х_i , т.е. рассматривается схема Бернулли с параметрами n и p. Тогда для любого сколь угодно малого положительного ɛ верно неравенство .

Теорема.(центральная предельная теорема Ляпунова). Пусть каждая из независимых случайных величин (Х₁, Х₂, ,,, Х_n ,,,) имеет конечные числовые характеристики M(X_i)=a_i, D(X_i)=d_i, M(|X_i-a_i|³)=c_i. Обозначим ; ; . Если при n→∞ выполняется условие , то выполняется предельный переход

Физический смысл её заключается в там, что сумма большого количества независимых случайных величин стремится к нормальному закону, если при увеличении числа слагаемых «удельный вес» каждого из них стремится к нулю.

38. Вариационный ряд, таблицы частот, гистограмма.

Пусть изучается некоторая случайная величина X. В результате n опытов она приняла значения x₁, x₂, …, x_n. Эту совокупность называют статистическим рядом. Число опытов n называется объемом выборки. Если число n достаточно велико, то значения x₁, x₂, …, x_n удобно помещать в таблицу, которую называют таблицей распределения данных. Среди чисел x₁, x₂, …, x_n выбирают все различные и располагают в порядке возрастания: α₁, α₂, …α_m, причем α₁<α₂< …<α_m. Такой ряд называют вариационным.

ОПР. Вариационный ряд называется дискретным, если любые его значения отличаются на постоянную величину.

ОПР. Вариационный ряд называется непрерывным, если любые его значения отличаются друг от друга на сколь угодно малую величину.

Далее составляется эмпирический закон распределения, который может быть задан в виде таблицы частот или в виде интервальной таблицы частот.

Если случайная величина X дискретная, то для нее составляется таблица частот, в которой в первой строке вписаны значения вариационного ряда α₁, α₂, …α_m, а во второй их частоты, т.е. значения μ_i=k_i/n, где k_i – число опытов, в которых наступило событие X=α_i, n – число всех опытов.

α1	α2	…	αm
μ1	μ2	…	μm

Если случайная величина X непрерывная, то для нее составляют интервальную таблицу частот. В ней в первой строке стоят интервалы (c_i , c_i+1) (весь диапазон изменения случайной величины разбит на эти интервалы), а во второй строке стоят частоты попадания значений случайной величины в i-тый интервал, т.е. μ_i ^/=k_i ^//n, где k_i ^/ - количество чисел статистического ряда, приходящаяся на i-тый интервал.

(c1;c2)	(c2;c3)	…	(cm;cm+1)
μ1/	μ2/	…	μm/

Интервальная таблица частот часто изображается в виде гистограммы – ступенчатой фигуры, у которой основанием является интервал (c_i, c_i+1), а площадь ступеньки равна μ_i ^/.

По виду таблицы частот или гистограмме зачастую можно определить, какой закон распределения имеет случайная величина

ОПР. 1.4. Эмпирической функцией распределения F_n(x) называется относительная частота того, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного значения x, т.е. F_n(x)=w(X<x)=n_x^нак/n (накопленная частота).