7. Який із стаціонарних розв’язків системи рівнянь, що описує формування шестикутних конвективних комірок, відповідає термодинамічній гілці?
Оскільки
єдиним розвязком який прохродить черезе
стан термодиниамічної рівноваги
(відстуність конвекції) є розвязок один
(
, 
, )
то він і відповідає термоднамічній
гілці що зображений 1-цею на рисунку:
8. За яких умов можливе формування шестикутних комірок Бенара?
Щоб усе-таки отримати розв’язок у формі шестикутних комірок, слід урахувати, що фізичні параметри рідини (в першу чергу, її в’язкість) залежать від температури. Тоді, вважаючи цю залежність слабкою, а відповідний параметр Г – малим, можна отримати аналог системи (2.4.53) ( , , , , . (2.4.53)
)у формі:
; (2.4.54)
;
,
де використані позначення
, 
, 
, 
, (2.4.55)
а всі амплітуди можна вважати дійсними величинами.
Розвязки цієї системи, що описують правильні шестикутні комірки:
;
Розвязки цієї системи, що описують неправильні шестикутні комірки:
, 
. (2.4.58)
Власне, комірки Бенара утворюються в тонких шарах рідини, за умов, коли суттєвою стає залежність в’язкості від температури.
9. Який механізм формування шестикутних комірок Бенара?
Для аналізу утворення конвективних комірок необхідно повернутися до рівнянь (2.4.14)-(2.4.16), доповнених граничними умовами (2.4.19)-(2.4.20). Знову, як це було зроблено вище (п. 2.4.2.6), апріорі задамо форму розв’язку: підставлятимемо його для всіх змінних (тиск, температура та три компоненти швидкості) у формі трьох пар хвиль:
, (2.4.50)
,
де вектори kl утворюють правильний трикутник:
, , . (2.4.51)
Легко зрозуміти, що сума трьох пар стоячих хвиль вигляду (2.4.50)-(2.4.51) справді описує набір правильних шестикутних комірок у площині (х, у) (див. рис. 2.4.7 в).
10. Як можна розрахувати розмір комірок Бенара?
Оскільки комірки утворюються за рахунок трьох стоячих хвиль то розміри їх вищнаються амлітудами цих хвиль, які визначаються наступним чином:
Щоб усе-таки отримати розв’язок у формі шестикутних комірок, слід урахувати, що фізичні параметри рідини (в першу чергу, її в’язкість) залежать від температури. Тоді, вважаючи цю залежність слабкою, а відповідний параметр Г – малим, можна отримати аналог системи (2.4.53) у формі:
; (2.4.54)
;
,
де використані позначення
, , , , (2.4.55)
а всі амплітуди можна вважати дійсними величинами.
Легко бачити, що система (2.4.54) без урахування квадратичних доданків зводиться до раніше розглянутої системи (2.4.52). Без урахування кубічних доданків система (2.4.54) описує вибухову нестійкість, що має місце при параметричній взаємодії трьох хвиль, одна з яких є хвилею з від'ємною енергією.
Стаціонарні розв’язки системи (2.4.54) в залежності від параметра (реально – від різниці температур Т) подані на рис. 2.4.8. Суцільні лінії відповідають стійким розв’язкам, штрихові – нестійким. Крива 1 відповідає відсутності конвекції, крива 2 – розв’язку
, , (2.4.56)
що описує конвективні вали, криві 3-4 – розв’язкам
|
Рис. 2.4.8. Залежність амплітуд мод, що характеризують конвекцію Релея - Бенара, від нормованого інкременту малих збурень. 1 – відсутність конвекції (А1=А2=А3=0), 2 – конвективні вали (А10, А2=А3=0), 3-4 – правильні шестикутні комірки (А1=А2=А3), 5 – неправильні шестикутні комірки (А1 А2=А3). |
, (2.4.57)
які описують правильні шестикутні комірки. Нарешті, крива 5 відповідає розв’язку у вигляді неправильних шестикутних комірок:
, . (2.4.58)