10. Чому фронт лісової пожежі звичайно буває плоским?

Ліс в певному наближенні можна розглядати, як бістабільне середовище з двома станами: живим і згарище. Лісова пожежа є прикладом хвилі перекидання. Використаємо розв’язок для швидкості поширення хвиль перекидання в двовимірному середовищі ( яка залежить від кривини фронту) , де - швидкість поширення хвилі з плоским фронтом, R – радіус кривизни фронту, D – коефіцієнт дифузії, який отримано в полярній системі координат з аксіальною симетрією. Якщо на плоскому фронті хвилі перекидання виникне опуклість, вона буде загальмовуватися, так як , і, навпаки, западина на фронті буде прискорюватися (рис. 2.1.9). В результаті форма фронту підтримуватиметься плоскою, що і спостерігається на прикладі лісової пожежі. Якісно це можна пояснити тим, що при опуклому фронті довжина фронту більша і тому більше тепловиділення в навколишнє середовище, і як результат менша швидкість поширення. Для западини на фронті все навпаки.

Рис. 2.1.9. Еволюція збурень плоского фронту перекидання в бістабільному середовищі.

11. Намалюйте кінетичну функцію для середовища, в якому можливі хвилі заселення.

Розглянемо поширення популяції, яка розмножується діленням. Тоді швидкість зростання популяції (з урахуванням смертності) буде пропорційна до першого ступеню концентрації особин n (n0), і відповідне нелінійне кінетичне рівняння з дифузією можна подати у формі :

, (2.1.31)

де m(n) – обсяг продовольства, що надходить у систему за одиницю часу на одну особину. В найпростішому випадку можна покласти

. (2.1.32)

Графік кінетичної функції f(n)=nm(n) поданий на рис. 2.1.10 

Рис. 2.1.10. До аналізу хвилі заселення: кінетична функція,

Рівняння (2.1.31) з урахуванням (2.1.32) має два стаціонарні однорідні розв’язки – n=0 та n=n₀. Формально стан n=0 – нестійкий, але, оскільки флуктуації неможливі, він буде підтримуватись, доки не з’явиться зародок популяції.

Хвиля переходу зі стану до стану відома в літературі як хвиля заселення. Її швидкість визначається властивостями середовища,

, (2.1.33)

і не залежить від n₀.

12. У чому відмінність між хвилею заселення та хвилею запалювання в бістабільному середовищі?

Однією і найбільш визначальною різницею між хвилею заселення та хвилею запалювання в бістабільному середовищі є з яких саме стаціонарних станів відбувається перехід.

В випадку хвилі запалювання система має два рівноважні стаціонарні стани (кінетична функція має два стаціонарні рівноважні розв’язки) і при проходженні хвилі відбувається перехід з одного такого стану в інший. На рис.2.1.6а показаний приклад такої функції де U₁ та U₃ стаціонарні розв’язки яким відповідають максимуми потенціалу на рис 2.1.6б і перехід з одного стану в інший в фазовому просторі продемонстровано на рис. 2.1.6г.

а	в
б	г
Рис. 2.1.6. До побудови фазового портрету стаціонарної хвилі перекидання.

В випадку хвилі заселення система переходить з початкового нерівноважного стаціонарного стану в стійкий стаціонарний стан. Слід зауважити, що така хвиля притаманна лише біологічним системам в яких в принципі не можливі флуктуації і які(системи) можуть знаходитись в нерівноважному стані досить довгий проміжок часу. Цього не можна сказати про фізичні системи, де завжди присутні флуктуації і середовище під їх впливом переходить до стаціонарного рівноважного стану. На рис. 2.1.10 показано кінетичну функцію, потенціал, і фазовий портрет для хвилі заселення

а	в
б
Рис. 2.1.10. До аналізу хвилі заселення: а – кінетична функція, б – хід потенціалу, в – фазовий портрет (штрихові лінії відповідають умові V0=0).